Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 50
Se uma curva tem a propriedade de o vetor posição (t) esta sempre perpendicular ao vetor tangente , mostre que essa curva está em uma esfera com centro na origem.
Passo 1
Se o vetor posição é sempre perpendicular ao vetor tangente, temos
Da igualdade acima podemos concluir então que
Passo 2
Sabemos que
Portanto, temos
Passo 3
Do estudo do produto escalar sabemos que
Subtituindo no igualdade obtida no Passo 2 temos
Da equação acima, concluímos que é uma constante, pois sua derivada é nula. Logo, também o é.
Uma vez que o módulo do vetor posição da curva é constante, concluímos que ela só pode estar numa esfera com centro na origem e raio .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.(b) Determine r’(t).(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t. r t = t - 2 ,t 2 + 1 , t = - 1
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado. r t = 4 ti + t 2j + tk ,t = 1
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado. r t = 6 t 5 , 4 t 3 , 2 t ,t = 1
Calcule a integral. ∫ cos π ti + s e nπ tj + tk d t
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T, N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais. r t = cosh t i - s e n ht j + t k