Enunciado

Se uma curva tem a propriedade de o vetor posição r (t) esta sempre perpendicular ao vetor tangente r ' ( t ) , mostre que essa curva está em uma esfera com centro na origem.

Passo 1

Se o vetor posição é sempre perpendicular ao vetor tangente, temos

r t ⋅ r ' t = 0

Da igualdade acima podemos concluir então que

2 r t ⋅ r ' t = 0

Passo 2

Sabemos que

d d t r t ⋅ r ' t = 2 r t ⋅ r ' t

Portanto, temos

d d t r t ⋅ r ' t = 0

Passo 3

Do estudo do produto escalar sabemos que

r t 2 =   r t ⋅ r ' t

Subtituindo no igualdade obtida no Passo 2 temos

d d t r t 2 = 0

Da equação acima, concluímos que r t 2 é uma constante, pois sua derivada é nula. Logo, | r t | também o é.

Uma vez que o módulo do vetor posição da curva é constante, concluímos que ela só pode estar numa esfera com centro na origem e raio | r t | .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.(b) Determine r’(t).(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t. r t = t - 2 ,t 2 + 1 , t = - 1
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado. r t = 4 ti + t 2j + tk ,t = 1
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado. r t = 6 t 5 , 4 t 3 , 2 t ,t = 1
Calcule a integral. ∫ cos ⁡ π ti + s e nπ tj + tk d t
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T, N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais. r t = cosh ⁡ t i - s e n ht j + t k