Enunciado

28. Dada f x = 1 - x 2 3 / 2 . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado - 1,1 . (b) Prove que f é derivável no intervalo aberto ( - 1,1 ) e que ambas f ´ + - 1   e   f ´ - ( 1 ) existem. (c) Faça um esboço do gráfico de f .

Letra ( a )

Passo 1

O enunciado fornece a função f e o intervalo [ -1, 1 ] e solicita que mostremos que a função é contínua neste intervalo.

Devemos lembrar então que uma função é contínua em um determinado ponto se o limite for igual ao valor da função no ponto. Para que ela seja contínua em todo intervalo, ela deve estar definida em todos os pontos do intervalo.

Passo 2

O termo da raiz não pode ser negativo, de modo que para função estar bem definida devemos ter (1 – x2)3 ≥ 0. Assim, f só estaria bem definida se x2 ≤ 1, que é exatamente o intervalo dado. Assim, em todos os pontos do intervalo a função está bem definida.

Passo 3

Tomemos a Є [ -1, 1 ]. Como -1 ≤ a ≤ 1, segue que

Calculemos agora o limite:

Vemos então que para um x = a arbitrário pertencendo ao intervalo [-1,1]. Como a é arbritário, a relação vale para todos os pontos do intervalo, de modo que a função é contínua no intervalo todo.

Resposta

Demonstração.

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21. Dada f x = x - 4 . (a) Prove que f é contínua à direita de 4. (b) Prove que f ´ + 4 não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (c)
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d