1.

Seja f tal que f x ≤ x ² , ∀ x   ∈   R . Mostre que f   é diferenciável em x = 0 .

Resolução
2.

Considere

f x = 1 - 2 sen ⁡ x ,     x ∈ - ∞ ,   0 x - 1 2 ,                           x ∈ 0 ,   1 x 2 ln ⁡ x ,                             x ∈ 1 ,   ∞

Determine os pontos onde f não é derivável.

Resolução
3.

No exercício, cada figura mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado D . Em que pontos do domínio a função parece ser

a derivável?

b contínua, mas não derivável?

c nem contínua nem derivável?

Justifique sua resposta.

Resolução
4.

Considere a função definida por:

f x = x 2 - 3 x + a s e   x < 5 2 s e   x = 5 x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b s e   x > 5

a Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista lim x → 5 ⁡ f x , porém f não seja contínua em x = 5

b Determine a e b de forma que f seja contínua em x = 5

c Para os valores de a e b obtidos no item b anterior, existe f ' 5 ?

Resolução
5.

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x ≥ 1 2 x ,                     s e   x < 1

( I ) Calcule, se existir, lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 . Justifique sua resposta.

( I I ) A função f é diferenciável em x = 1 ?

Resolução
6.

Decida se a proposição abaixo é falsa ou verdadeira, justificando:

Se f não é derivável em x = 0 , então lim x → 0 ⁡ f x ≠ f 0

Resolução
7.

Seja

f x = - x 2       , x < 1 1 x       ,   x ≥ 1

f é diferenciável em x = 1 ? f é contínua em x = 1 ?

Resolução
8.

Sejam f e g funções reais a valores reais. Considere as seguintes afirmações:

  1. Se f é contínua em x 0   ϵ   d o m   f , então é derivável em x 0 .
  2. Suponha f inversível com inversa g , f derivável em x 0   ϵ   d o m   f , g contínua em f ( x 0   ) e f ' ( x 0   ) ≠ 0 . Então g é derivável em f ( x 0   ) .
  3. Se f e g forem ambas descontínuas em x 0   ϵ   d o m   f ⋂ d o m   g , então f + g é descontínua em x 0   .

São verdadeiras:

  1. Apenas a afirmação I
  2. Apenas a afirmação II
  3. Apenas a afirmação III
  4. Todas as afirmações
  5. Apenas as afirmações II e III
Resolução
9.

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x ≥ 1 2 x ,                     s e   x < 1

( b ) Calcule, se existir, lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 . Justifique sua resposta.

( c ) A função f é diferenciável em x = 1 ?

Resolução
10.

Considere a função

f x = x 2 - 1 x 2 - 1

a Esboce o gráfico de f ( x ) .

( b ) Determine analiticamente o(s) ponto(s) em que f é descontínua.

( c ) Esta(s) descontinuidade(s) pode(m) ser removida(s)? Justifique.

( d ) A função f é diferenciável em x = 1 ? Justifique.

Resolução
11.

Seja

f x = 3 - x 2 , x < 1 1 x , x ≥ 1

f é diferenciável em x = 1 ? f é contínua em x = 1 ?

Resolução
12.

Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira

  1. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável tal que f não possui pontos críticos, então f não possui extremos globais
  2. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função qualquer tal que f 1   f - 1 < 0 , então existe c ∈   ] - 1,1 [ tal que f c = 0
  3. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função contínua tal que f é derivável em ] - 1,1 [ e f 1 = f - 1 + 1 , então existe c ∈   ] - 1,1 [ tal que f ' c = 1
  4. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável e c ∈   ] - 1,1 [ é o único ponto crítico de f , então c é extremo global de f .
  5. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável tal que f 0 = 1 e f ' x > 0 para todo x ∈   ] - 1,1 [ , então f x > 0 para todo x ∈   ] - 1,1 [
Resolução
13.

Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira

  1. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável, com derivada contínua, tal que f possui pontos críticos, então f possui extremos locais.
  2. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função qualquer tal que f 1   f - 1 < 0 , então existe c ∈   ] - 1,1 [ tal que f c = 0
  3. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável, com derivada contínua, c   ∈   ] - 1,1 [ é o único ponto crítico de f e c é o ponto de mínimo local de f então c é o ponto de mínimo global de f .
  4. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função contínua tal que f é derivável em ] - 1,1 [ e f 1 = f - 1 + 1 , então existe c ∈   ] - 1,1 [ tal que f ' c = 1
  5. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável tal que f 0 = 1 e f ' x > 0 para todo x ∈   ] - 1,1 [ , então f x > 0 para todo x ∈   ] - 1,1 [
Resolução
14.

Seja f tal que f ( x ) ≤ x ² , ∀ x ∈   R . Mostre que f é diferenciável em x = 0 .

Resolução
15.

Questão 3:

Sejam a ,   b ∈ R . Considere a função f : R → R definida por

f x = g x ,               s e       x < 1 h x ,               s e       x ≥ 1

onde

g x = a + ∫ - 1 x 2 t - 1   d t                                 e                               h x = ∫ - 1 x 3 - b t   d t

  1. Determine os valores de a e b para que a função f seja contínua e diferenciável.
  2. Esboce abaixo o gráfico de f . Desenhe também a reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   f 1 .
Resolução
16.

Considere f : I R → I R a função dada por:

f x = x 2 + 5 ,     x < 1   - x 2 + 3 x + 4   ,     x ≥ 1

(c) Sejam a , b   ∈ I R e considere g : I R - < I R a função dada por:

f x = x 2 + b ,     x < a - x 2 + b - 2 x + 4   ,     x ≥ a

Determine os valores de a e b para que a função g seja contínua e diferenciável.

Resolução
17.

Seja f :   R → R dada por

f x = x 2 - 3           ,           s e   x ≥ 2 4 x - 7             ,           s e   x < 2

(a) A função f é contínua em x = 2 ? Justifique sua resposta.

(b) A função f é derivável em x = 2 ? Justifique sua resposta. Caso sim, encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 2 .

Resolução

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