Lista de Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade
No exercício, cada figura mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado . Em que pontos do domínio a função parece ser
derivável?
contínua, mas não derivável?
nem contínua nem derivável?
Justifique sua resposta.
Considere a função definida por:
Dê um exemplo de valores para e tal que exista , porém não seja contínua em
Determine e de forma que seja contínua em
Para os valores de e obtidos no item anterior, existe ?
Ver solução completaSeja
Calcule, se existir, . Justifique sua resposta.
A função é diferenciável em ?
Ver solução completaSeja tal que Mostre que é diferenciável em .
Ver solução completaDecida se a proposição abaixo é falsa ou verdadeira, justificando:
Se não é derivável em , então
Ver solução completaSejam e funções reais a valores reais. Considere as seguintes afirmações:
- Se é contínua em , então é derivável em .
- Suponha inversível com inversa , derivável em , contínua em e . Então é derivável em .
- Se e forem ambas descontínuas em , então é descontínua em .
São verdadeiras:
- Apenas a afirmação I
- Apenas a afirmação II
- Apenas a afirmação III
- Todas as afirmações
- Apenas as afirmações II e III
Seja
Calcule, se existir, . Justifique sua resposta.
A função é diferenciável em ?
Ver solução completaConsidere a função
Esboce o gráfico de .
Determine analiticamente o(s) ponto(s) em que é descontínua.
Esta(s) descontinuidade(s) pode(m) ser removida(s)? Justifique.
A função é diferenciável em ? Justifique.
Ver solução completaSeja
- Determine se é contínua no ponto ).
- Determine se é diferenciável no ponto (0,0).
Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira
- Se é uma função derivável, com derivada contínua, tal que possui pontos críticos, então possui extremos locais.
- Se é uma função qualquer tal que , então existe tal que
- Se é uma função derivável, com derivada contínua, é o único ponto crítico de e é o ponto de mínimo local de então é o ponto de mínimo global de .
- Se é uma função contínua tal que é derivável em e , então existe tal que
- Se é uma função derivável tal que e para todo , então para todo
Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira
- Se é uma função derivável tal que não possui pontos críticos, então não possui extremos globais
- Se é uma função qualquer tal que , então existe tal que
- Se é uma função contínua tal que é derivável em e , então existe tal que
- Se é uma função derivável e é o único ponto crítico de , então é extremo global de .
- Se é uma função derivável tal que e para todo , então para todo
Questão 3:
Sejam . Considere a função definida por
onde
- Determine os valores de e para que a função seja contínua e diferenciável.
- Esboce abaixo o gráfico de . Desenhe também a reta tangente ao gráfico de no ponto
Considere a função dada por:
(c) Sejam e considere a função dada por:
Determine os valores de e para que a função seja contínua e diferenciável.
Ver solução completaSeja dada por
(a) A função é contínua em ? Justifique sua resposta.
(b) A função é derivável em ? Justifique sua resposta. Caso sim, encontre a equação da reta tangente ao gráfico de em .
Ver solução completaSeja tal que , . Mostre que é diferenciável em .
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