Exercícios de Diferenciabilidade - Lista de Exercícios Resolvida

No exercício, cada figura mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado . Em que pontos do domínio a função parece ser

derivável?

contínua, mas não derivável?

nem contínua nem derivável?

Justifique sua resposta.

Considere a função definida por:

Dê um exemplo de valores para e tal que exista , porém não seja contínua em

Determine e de forma que seja contínua em

Para os valores de e obtidos no item anterior, existe ?

Seja

Calcule, se existir, . Justifique sua resposta.

A função é diferenciável em ?

Seja tal que Mostre que é diferenciável em .

Considere

Determine os pontos onde não é derivável.

Calcule as derivadas das seguintes funções:

Seja

Calcule, se existir, . Justifique sua resposta.

A função é diferenciável em ?

Considere a função

Esboce o gráfico de .

Determine analiticamente o(s) ponto(s) em que é descontínua.

Esta(s) descontinuidade(s) pode(m) ser removida(s)? Justifique.

A função é diferenciável em ? Justifique.

Seja

é diferenciável em ? é contínua em ?

14. Determine e reais para que a função dada por seja derivável em .

15. Dada a função ,

a) Determine um valor de para o qual é contínua em ;

Seja uma função derivável e seja fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

1. Se é derivável até segunda ordem com e , para todo , então

15. Dada a função ,

b) é derivável no ponto encontrado no item anterior?

Seja uma função derivável e seja fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

1. Se então

Seja uma função derivável e seja fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

d) se existe uma assíntota para (quando ) com coeficiente angular e se existe , então

Sejam e funções reais a valores reais. Considere as seguintes afirmações:

1. Se é contínua em , então é derivável em .
2. Suponha inversível com inversa , derivável em , contínua em e . Então é derivável em .
3. Se e forem ambas descontínuas em , então é descontínua em .

São verdadeiras:

1. Apenas a afirmação I
2. Apenas a afirmação II
3. Apenas a afirmação III
4. Todas as afirmações
5. Apenas as afirmações II e III

Use a definição para verificar se a função tem derivada no ponto .

07) Determine e de modo que seja diferenciável.

Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira

1. Se é uma função derivável, com derivada contínua, tal que possui pontos críticos, então possui extremos locais.
2. Se é uma função qualquer tal que , então existe tal que
3. Se é uma função derivável, com derivada contínua, é o único ponto crítico de e é o ponto de mínimo local de então é o ponto de mínimo global de .
4. Se é uma função contínua tal que é derivável em e , então existe tal que
5. Se é uma função derivável tal que e para todo , então para todo

Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira

1. Se é uma função derivável tal que não possui pontos críticos, então não possui extremos globais
2. Se é uma função qualquer tal que , então existe tal que
3. Se é uma função contínua tal que é derivável em e , então existe tal que
4. Se é uma função derivável e é o único ponto crítico de , então é extremo global de .
5. Se é uma função derivável tal que e para todo , então para todo

Seja , .

(a) Dê os pontos onde é duas vezes diferenciável e determine e .

6. Sabendo que é diferenciavel em e que

Determine e .

Considere a função

A função é diferenciável em É contínua em

Sejam e números reais tais que a função

É diferenciável em toda parte. O valor de é

(A) 38

(B) 37

(C) 39

(D) 40

(E) 36

Questão 3:

Sejam . Considere a função definida por

onde

1. Determine os valores de e para que a função seja contínua e diferenciável.
2. Esboce abaixo o gráfico de . Desenhe também a reta tangente ao gráfico de no ponto

Considere a função dada por:

(c) Sejam e considere a função dada por:

Determine os valores de e para que a função seja contínua e diferenciável.

Se e é diferenciável, calcule e .

Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:

c); .

Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:

b); .

Considere as funções

e

(g) Indique nos gráficos os pontos em que , e não são diferenciáveis

Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:

1. ; .

Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:

d); .

Escreva na ordem crescente os números e .

Determine a e b reais para que a função f dada por seja derivável em 1.

Considere , com uma função duas vezes diferenciável. Então, a função é duas vezes diferenciável e satisfaz:

Investigue a derivabilidade das funções nos pontos indicados

(b) .

Investigue a derivabilidade das funções nos pontos indicados

(c) .

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por

(c) é derivável em ?

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por .

(a) Existe ?

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por .

(b) Existe para todo ?

Investigue a derivabilidade das funções nos pontos indicados

(a) .

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por .

(c) Como se define a função ?

Considere a função definida por .

Existe ?

Assinale (VERDADEIRO) ou F (FALSO). Se VERDADEIRO, justifique sua resposta, se FALSO, apresente uma função que satisfaça tal propriedade.

() Se for uma função contínua no ponto , então é derivável em .

() Se for uma função derivável no ponto , então é contínua em .

() Se existe, então .

Encontre e de modo que a função , seja derivável em .

Seja a função

Ela é contínua em 1? é derivável em 1?

Se é uma função diferenciável tal que e em .

b) Prove que existem e em tais que

Se é uma função diferenciável tal que e em .

c) Explique porque .

Se é uma função diferenciável tal que e em .

e) Utilizando o item b), se e , calcule e .

Seja uma função derivável e seja fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

e) se