Enunciado

Dado um arame semicircular uniforme de raio 4 cm.

  1. Mostrar que o centro de massa está situado no eixo de simetria a uma distância de 8 π cm do centro.
  2. Mostrar que o momento de inércia em relação ao diâmetro que passa pelos extremos do arame 8 M , sendo M a massa do arame.

Passo 1

Vamos lá, a região é um semicírculo de raio 4.

Já que não deram o centro, a gente considera que é a origem. A gente pode parametrizar assim então:

x = 4 cos ⁡ θ y = 4   s e n   θ

Sendo que como é um semicírculo, o intervalo de θ   é : [ 0 ,   π ] .

Não temos a densidade também, então consideramos que é uma constante K .

Vamos derivar essa parametrização:

σ ' = - 4   s e n   θ ,   4 cos ⁡ θ

E agora a gente faz a norma disso, que é o nosso d s :

d s = - 4 s e n θ 2 + 4 cos ⁡ θ 2

= 16 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ  

= 16 = 4   d θ

Passo 2

  1. Agora que a gente já destrinchou tudo, vamos para o que a questão pediu.

A massa desse arame é dada por:

M = ∫ 0 π K 4 d θ

M = 4 π K

Show! Vamos para o centro de massa então:

x - = 1 M ∫ 0 π K   ( 4 cos ⁡ θ ) 4 d θ

= 1 4 π K ∙ K ∫ 0 π 16 cos ⁡ θ   d θ

= 1 4 π 16   s e n   θ 0 π

= 0

A coordenada y agora:

y - = 1 M ∫ 0 π K 4   s e n   θ 4 d θ

= 1 4 π K ∙ K ∫ 0 π 16   s e n   θ   d θ

= 1 4 π - 16 cos ⁡ θ

1 4 π 16 + 16 = 32 4 π = 8 π

Então o centro de massa é C m = 0 , 8 π , que está localizado no eixo de simetria ( x = 0 ) e está a uma distância de 8 π c m   do centro, como queríamos demonstrar😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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