Determine Dy/Dx de ln xy = e^(x+y)

Passo 1

Bom, o enunciado pede a derivada de Y em relação a X. Para isso, vamos utilizar a derivação implícita. Portanto, vamos derivar implicitamente ambos os lados da equação. Façamos:

l n   x y   =   e x + y

Vamos fazer por partes, primeiro vamos derivar ln xy, passo a passo e em seguida derivamos e x + y   p a r a   a o   f i n a l   f a z e m o s   a s   s u b s t i t u i ç õ e s   n e c e s s á r i a s .   E n t ã o   v a m o s   l á :

Passo 2

Para o termo l n   x y , aplicamos a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f =   l n   u   e u =   x y

d d u l n   u =   1 u   =   1 x y

d d x ( x y )   =   y   + x d y d x

Por conveniência, vamos escrever d y d x como y ' ok?

d d x ( x y )   =   y   + x y '

d y d x ln ⁡ x y = 1 x y . y   + x y ' =   y + x y ' x y

Passo 3

Agora, vamos derivar o termo e x + y . Vamos aplicar novamente a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = e u   e u =   x + y

d d u e u =   e u   = e x + y

Agora, façamos:

d d x ( x +   y )   = 1 + d y d x

Por conveniência, vamos escrever d y d x como y ' ok?

d d x ( x +   y )   = 1 + y '

Logo, a derivada de e x + y   é     e x + y 1 + y '

Passo 4

Agora, que temos a derivada de cada um dos termos, vamos substituir os valores encontrados nos passos 2 e 3. Lembrando que queremos D y / D x   d e   l n   x y   =   e x + y

y + x y ' x y = e x + y 1 + y '

y + x y '         =   e x + y 1 + y ' . x y

y + x y ' =   e x + y . x y 1 + y '

y + x y ' =   e x + y . x y +   e x + y . x y y '

x y ' =   e x + y . x y +   e x + y . x y y ' - y

x y ' -   e x + y . x y y ' =   e x + y . x y - y

x y ' 1 - e x + y . y = - e x + y . x y - y

y ' =   e x + y . x y - y x 1 - e x + y . y

Resposta

d y d x =   e x + y .   x y   - y x   ( 1 - e x + y . y )

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