Enunciado

Determine o ângulo entre os vetores. (Estabeleça inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até o grau mais próximo.)

a = 6 , - 3 , 2 ,     b = 2 , 1 , - 2

Passo 1

Para podermos determinar o ângulo entre dois vetores, precisaremos utilizar a definição de um produto interno. Relembrando, temos:

a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = a ⋅ b a ⋅ b

θ = arccos ⁡ a ⋅ b a ⋅ b

Logo, precisamos calcular a norma de cada um dos vetores e o produto interno entre eles. Somente após isto, poderemos calcular o valor do ângulo!

Passo 2

Vamos começar determinando o módulo de cada um dos vetores. Desta forma,

a = 6 2 + - 3 2 + 2 2

a = 49 = 7

Já para o vetor b , temos:

b = 2 2 + 1 2 + - 2 2

b = 9 = 3

Passo 3

Agora vamos calcular o produto interno entre os dois vetores. Logo,

a ⋅ b = 6 , - 3,2 ⋅ 2,1 , - 2

a ⋅ b = 6 ⋅ 2 + - 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ - 2

a ⋅ b = 12 - 3 - 4 = 5

Passo 4

Pronto, chegamos ao final da questão! Só nos basta agora substituirmos os valores encontrados ao longo dos Passos para obtermos o valor do ângulo θ . Sendo assim, temos:

θ = arccos ⁡ 5 7 ⋅ 3

θ ≈ 76,2 °

Resposta

θ = arccos ⁡ 5 7 ⋅ 3 ≈ 76,2 °

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Resolva os sistemas:(a) x → ∧ i → - k → = j → x → + y → = i → + j →
Resolva os sistemas:(b) x → . 2 i → + 3 j → + 4 k → = 9 x → ∧ - i → + j → - k → = - 2 i → + 2 k →
(a) Prove que, se u → é unitário, então u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v → , qualquer que seja v → . O duplo produto u → ∧ v → ∧ u → é, portanto, o vetor q → mencionado em [9-9].
(a) Mostre que u → i j ∧ v → i j = D a b K → , u → i k ∧ v → i k = - D a c J → , u → j k ∧ v → j k = D b c I → , e, consequentemente S Ω i j = D a b ,S Ω i k = D a ceS Ω j k = D b c .
(c) Sejam α ,β e γ , respectivamente, as medidas angulares entre u → ∧ v → e i → , u → ∧ v → e j → , u → ∧ v → e k → .Mostre que S Ω i j = S Ω cos ⁡ γ ,S Ω i k = S Ω cos ⁡ β e S Ω j k = S Ω cos ⁡ α .