Enunciado

Determine a área de superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a x

Passo 1

Seja A ( S 1 ) a área da superfície da porção da superfície que se encontra acima do plano z = 0 . Então

A S = 2 A ( S 1 )

Representando S 1 parametricamente:

x = a s e n   ϕ cos ⁡ θ

y = a   s e n   ϕ   s e n   θ

E

z = a cos ⁡ ϕ

E então

r ϕ × r θ = a 2 s e n   ϕ

Passo 2

Para D :

0 ≤ ϕ ≤ π 2

E para cada fixo ϕ :

x - 1 2 a 2 + y 2 ≤ 1 2 a 2

Ou

a   s e n   ϕ cos ⁡ θ - 1 2 a 2 + a 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ ≤ a 2 2

Isso implica que:

a 2 s e n 2 ϕ - a 2 s e n ϕ cos ⁡ θ ≤ 0  

Ou

s e n   ϕ s e n   ϕ - cos ⁡ θ ≤ 0

MAS

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Então,

cos ⁡ θ ≥ s e n   ϕ

Ou

s e n   π 2 + θ ≥ s e n   ϕ

Ou

ϕ - π 2 ≤ θ ≤ π 2 - ϕ

Consequentemente

D = ϕ , θ 0 ≤ ϕ ≤ π 2 ,   ϕ - π 2 ≤ θ ≤ π 2 - ϕ  

Passo 3

Então, agora podemos calcular a integral dupla de A S 1 :

A S 1 = ∫ 0 π 2 ∫ ϕ - π 2 π 2 - ϕ a 2 s e n   ϕ d θ d ϕ = ∫ 0 π 2 π - 2 ϕ s e n ϕ d ϕ = a 2 - π cos ⁡ ϕ ) - 2 ( - ϕ cos ⁡ ϕ + s e n   ϕ 0 π 2 = a 2 ( π - 2 )

Resposta

A S = a 2 ( π - 2 )

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