Exercícios de Caso Escalar - Lista de Exercícios Resolvida

Determine a massa da superfície dada por limitada por , sabendo que a densidade é dada por .

Calcule a área da parte superior da esfera contida no interior do cilindro .

Monte, mas não calcule, uma integral iterada à integral de superfície dada projetando no

1. Plano
2. Plano
3. Plano

Onde é a porção do plano no primeiro octante.

Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico que se encontra entre os cilindros e .

Calcule a área da superfície do cone situada entre os planos e .

Monte, mas não calcule, uma integral iterada igual à integral dada

Onde é a porção do cilindro no primeiro octante entre os planos , , e

Calcule a integral de superfície

Sobre cilindro .

(Dica: )

Questão 1) Calcular a área da parte da superfície que está dentro da região .

Calcule a integral de superfície , onde é a parte do elipsóide contida no semi-espaço .

Determine a área da superfície que está dentro do cilindro .

Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico que se encontra entre os cilindros e .

Encontre a área da superfície que está acima do triângulo com vértices , e .

Calcule a área da superfície S do semicone

Contida no interior do elipsoide:

Calcule a integral de superfície escalar:

Sendo a porção do cilindro:

Contida no primeiro octante, limitada superiormente por:

E inferiormente por:

Considere a superfície do paraboloide , situada no primeiro octante .

1. Ache uma parametrização para .
2. Calcule a área de .

Nos exercícios 16 -> 25, calcule

onde é a parte do paraboloide que está situada acima do plano .

Dada a função , é correto afirmar:

1. para C dado por
2. f é analítica
5. para o caminho fechado C.

Assinale a única alternativa correta sobre a função

Calcule a integral de superfície abaixo

Onde é a porção do cone acima do plano e limitada entre os planos e .

Sobre a seria complexa é correto afirmar:

1. A serie converge se .
2. A serie converge se .
3. A serie não converge absolutamente para nenhum ponto.
4. A soma da série é
5. A serie diverge se

Sobre os números complexos é correto afirmar:

1. Se e então
2. É um conjunto comutativo com relação à adição e à multiplicação.
3. Todo numero complexo possui um inverso
4. Todo numero complexo possui pelo menos uma raiz quadrada
5. Todo número complexo possui um conjugado

Calcule a integral de superfície

onde S é o limite da região delimitada pelo cilindro e pelos planos e .

Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

1. O campo vetorial

é um campo vetorial conservativo com função potencial .

2. A área da parte superior que está dentro do cilindro , é .

Calcule a massa da superfície onde , com densidade pontual de massa .

Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico que está entre os cilindros e

Seja a superfície de rotação obtida girando em torno do eixo . Calcule a massa de , sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo .

14) Seja a porção da esfera que se encontra dentro do paraboloide

Calcule a massa de sabendo que a densidade de massa em cada ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .

13) Seja a superfície do sólido limitado inferiormente pelo paraboloide e superiormente pelo plano . Se a densidade de massa é dada por , calcule a massa de .

4) Calcule a área das superfícies:

a) porção do plano , que está dentro do cilindro .

3) Calcule a área da superfície dada por , com : .

4) Calcule a área das superfícies:

f) superfície gerada pela rotação do segmento de reta , , em torno do eixo .

4) Calcule a área das superfícies:

g) parte da superfície , compreendida entre os planos , , e .

11) Calcule a massa da superfície parte do plano dentro do cilindro , sendo a densidade dada por .

4) Calcule a área das superfícies:

e) superfície gerada pela rotação do conjunto em torno do eixo .

Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície de equação , compreendida entre os planos e e o cilindro . Se o metro quadrado do zinco custa reais, calcule o preço total da peça.

9) Calcule

Onde

e) e é a porção do cilindro , , no primeiro octante, entre os planos e .

9) Calcule

Onde

h) e , com .

12) Seja a porção do cilindro , com , limitada pelo plano e pelo plano . Calcule a massa de , sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .

9) Calcule

Onde

c) e S é a região retangular com vértices , e .

13) Seja a superfície do sólido limitado inferiormente pelo paraboloide e superiormente pelo plano . Se a densidade de massa é dada por , calcule a massa de .

Seja S a superfície definida pela parte do plano que está dentro do cilindro .

1. Determine uma parametrização para a superfície S juntamente com o domínio D da parametrização.
2. Parametrize o bordo da superfície.
3. Use a parametrização para explicitar o elemento de área de superfície.
4. Calcule a integral

Considere o cone .

a) Calcule a área da parte da superfície que se encontra no primeiro octante (ou seja, , , ) e abaixo do plano .

Calcule a integral de superfície

onde S é a parte do cilindro que esta entre os planos x=0 e x=3 no primeiro octante.

Seja a esfera de equação com densidade superficial . A massa de é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Determine a área da superfície que está dentro do cilindro .

Considere a superfície parametrizada

Cuja imagem denotaremos por .

1. Calcule uma equação implícita para .
2. Faça um esboço de .
3. É uma superfície parametrizada regular ou não? Justifique a resposta.
4. Calcule a equação implícita do plano tangente a no ponto
5. Calcule a integral de superfície

Considere a superfície parametrizada por

Com e

(a) Determine o vetor normal unitário de no ponto de que aponta para cima

(b) Calcule a área de .

Calcule , sendo a parte de uma superfície parametrizada por

Considere a parte do cilindro que fica na intersecção das regiões , e .

1. Determine uma parametrização de , especificando o domínio de definição da parametrização.
2. Calcule a integral de superfície .

Considere a parte da superfície que fica embaixo da superfície , isto é,

1. Determine uma parametrização de , especificando o domínio de definição da parametrização.
2. Calcule a área da superfície .

(2) O valor da integral da função escalar sobre a superfície é:

Calcule onde é a parte da superfície limitada por .

Questão :

a) Seja a parte do cilindro que está no interior do cilindro com . Calcule a massa de sendo a densidade .

Questão 3) Calcule a área da parte do paraboloide elíptico