1.

Determine a massa da superfície S dada por z = x 2 + y 2 + 2 x y limitada por x 2 + y 2 = 2 , sabendo que a densidade é dada por δ x , y , z = 2 x 2 + 3 y 2 1 + 8 z .

Resolução
2.

Calcule a área da parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 contida no interior do cilindro x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2 .

Resolução
3.

Monte, mas não calcule, uma integral iterada à integral de superfície dada projetando σ no

  1. Plano x y
  2. Plano x z  
  3. Plano y z

∬ σ x y z d S

Onde σ é a porção do plano 2 x + 3 y + 4 z = 12 no primeiro octante.

Resolução
4.

Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que se encontra entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 .

Resolução
5.

Calcule a área da superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 0 e x + 2 z = 3 .

Resolução
6.

Monte, mas não calcule, uma integral iterada igual à integral dada

∬ σ x 2 y d S

Onde σ é a porção do cilindro x 2 + y 2 = 9 2 no primeiro octante entre os planos x = 0 , x = 9 , z = y e z = 2 y

Resolução
7.

Calcule a massa da superfície S onde S = x , y , z ∈ R x 2 + y 2 = 1 ,   1 ≤ z ≤ 4 } , com densidade pontual de massa δ x , y , z = z 1 + 5 z 2 - 3 / 2 .

Resolução
8.

Calcule ∬ S   17 - 4 z d S onde S é a parte da superfície z = 4 - x 2 - y 2 limitada por z = 2 y + 1 .

Resolução
9.

Considere a superfície parametrizada

r t ,   θ = t + 1 ,   t sen ⁡ θ ,   t cos ⁡ θ ,                   t ∈ 1 ,   2 ,   θ ∈ 0 ,   π ,

Cuja imagem denotaremos por S .

  1. Calcule uma equação implícita para S .
  2. Faça um esboço de S .
  3. É r uma superfície parametrizada regular ou não? Justifique a resposta.
  4. Calcule a equação implícita do plano tangente a S no ponto r 3 2 , π 2 .
  5. Calcule a integral de superfície

∬ S   6 x + π z d S

Resolução
10.

Determine a área da lâmina do cilindro circular ∑ : x 2 + y 2 = 4 em R 3 contida entre o plano ( O x y ) e o cilindro parabólico P : z = y 2 , no primeiro octante.

Resolução
11.

Determine a área da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Resolução
12.

Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que se encontra entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 .

Resolução
13.

Encontre a área da superfície z = 1 + 3 x + 3 y 2 que está acima do triângulo com vértices ( 0,0 ) , ( 0,1 ) e ( 2,1 ) .

Resolução
14.

Seja S a superfície parametrizada por:

ϕ u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ ( v ) , v

u ∈ 0,2

v ∈ 0,2 π

Calcule a integral de superfície:

I = ∬ S   x 2 + y 2 d S

Resolução
15.

Calcule a área da superfície S do semicone

z = x 2 + y 2

Contida no interior do elipsoide:

x 2 2 + y 2 4 + z 2 = 1

Resolução
16.

Calcule a integral de superfície escalar:

∬ S   5 x y   d S

Sendo S a porção do cilindro:

9 x 2 + 4 y 2 = 36

Contida no primeiro octante, limitada superiormente por:

z = 6 x 2 + y 2

E inferiormente por:

z = x 2 + y 2

Resolução
17.

(2) O valor da integral da função escalar f x ,   y ,   z = z sobre a superfície S = x ,   y ,   z ∈ R 3 | - 1 ≤ x ≤ 1 ,   z 2 + y 2 = 1 ,   z ≥ 0 é:

  1. 4
  2. 1
  3. - 1
  4. 4 / 3
  5. 8
Resolução
18.

Calcule a integral de superfície ∬ S   x 2 + z 2 d S , onde S é a parte do elipsóide x 2 2 + y 2 3 + z 2 2 = 1 contida no semi-espaço y ≥ 0 .

Resolução
19.

Considere a superfície S do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 , situada no primeiro octante ( x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ) .

  1. Ache uma parametrização para S .
  2. Calcule a área de S .
Resolução
20.

Calcule a integral de superfície

∬ S 2 x 2 + y   d S

Onde S é a parte do parabolóide hiperbólico 4 x 2 + 4 y - 4 z 2 = 1 dentro do parabolóide y = x 2 + 3 z 2 .

Resolução
21.

Calcule a integral de superfície abaixo

∬ S   x + z y + 1 2 d S ,

Onde S é a porção do cone y + 1 2 = x 2 + z 2 acima do plano z = 0 e limitada entre os planos y = 0 e y = 3 .

Resolução
22.

Seja S parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , com z ≥ x 2 + y 2 . Calcule a massa de S sendo δ x , y , z = x 2 + y 2

Resolução
23.

Questão 1: Calcule a massa da superfície S de equação

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 1

E densidade γ x ,   y ,   z = 1 x 2 + y 2 + z 2 , com x 2 + y 2 + z 2 ≠ 0 .

Resolução
24.

Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

  1. O campo vetorial
  2. F → =   - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

    é um campo vetorial conservativo com função potencial f x , y = a r c t a n ⁡ ( y x ) .

  3. A área da parte superior z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 3 , é 14 π 3 .
Resolução
25.

13) Seja S a superfície do sólido limitado inferiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e superiormente pelo plano z = 1 . Se a densidade de massa é dada por ρ x ,   y ,   z = z , calcule a massa de S .

Resolução
26.

14) Seja S a porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que se encontra dentro do paraboloide

z = x 2 + y 2 3

Calcule a massa de S sabendo que a densidade de massa em cada ponto x ,   y ,   z ∈ S é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo z .

Resolução
27.

Seja S a superfície de rotação obtida girando C = x , y , 0 ∈ R 3 ; x = ln ⁡ y ,   3 ≤ y ≤ 8 em torno do eixo x . Calcule a massa de S , sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo x .

Resolução
28.

4) Calcule a área das Superfícies:

b) S : Parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , interior ao cone z = x 2 + y 2 3

Resolução
29.

3) Calcule a área da superfície dada por r → u ,   v = u ,   v ,   u 2 + v 2 , com u ,   v ∈ D : u 2 + v 2 ≤ 4 .

Resolução
30.

4) Calcule a área das superfícies:

a) S :   porção do plano x + 2 y + z = 4 , que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 .

Resolução
31.

9) Calcule

∬ S   f x ,   y , z   d S

Onde

e) f x ,   y ,   z = x 2 y 2 e S é a porção do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 , no primeiro octante, entre os planos z = y e z = 2 y .

Resolução
32.

9) Calcule

∬ S   f x ,   y ,   z   d S

Onde

h) f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 e S : x 2 + y 2 + z 2 = 4 , com z ≥ 1 .

Resolução
33.

Suponha que f x , y , z = x 2 + y 2   .   g x 2 + y 2 + z 2 , onde g é a função de uma variável, tal que g 2 = - 5 . Calcule ∬ S f x , y , z d S , onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4

Resolução
34.

11) Calcule a massa da superfície S parte do plano z = 2 - x dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , sendo a densidade dada por ρ x ,   y ,   z = y 2 .

Resolução
35.

12) Seja S a porção do cilindro x 2 + y 2 = 1 , com z ≥ 0 , limitada pelo plano x + y + z = 1 e pelo plano z = 0 . Calcule a massa de S , sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo z .

Resolução
36.

4) Calcule a área das superfícies:

e) S : superfície gerada pela rotação do conjunto C = 0 , y ,   z ∈ R 3 ; y - 2 2 + z 2 = 1 em torno do eixo z .

Resolução
37.

4) Calcule a área das superfícies:

f) S : superfície gerada pela rotação do segmento de reta A B , A = 0 ,   1 ,   3 , B = 0 ,   3 ,   1 em torno do eixo z .

Resolução
38.

4) Calcule a área das superfícies:

g) S : parte da superfície z = x 2 + y 2 , compreendida entre os planos x + y = 1 , x + y = 2 , x = 0 e y = 0 .

Resolução
39.

4) Calcule a área das superfícies:

h) S parte do cone z = x 2 + y 2 , que se encontra dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 y , fora do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Resolução
40.

Calcule a área da superfície da esfera de raio a , centrada na origem, limitada por dois paralelos e dois meridianos, sabendo que o ângulo entre os meridianos é α e a distância entre os planos que contêm os paralelos é h .

Resolução
41.

Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície de equação z = 1 - x 2 , compreendida entre os planos y = 0 e z = 0 e o cilindro z = 1 - y 2 ,   y ≥ 0 . Se o metro quadrado do zinco custa R reais, calcule o preço total da peça.

Resolução
42.

8) O cilindro x 2 + y 2 = x divide a esfera S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 em duas regiões S 1 e S 2 , onde S 1 está no interior do cilindro e S 2 fora. Ache a razão das áreas A S 2 A S 1 .

Resolução
43.

9) Calcule

∬ S   f x ,   y ,   z d S

Onde

a) f x ,   y ,   z = z - x 2 + x y 2 - 1 e S : r → u ,   v = u   i → + v   j → + u 2 + 1   k → , com 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2 .

Resolução
44.

9) Calcule

∬ S   f x ,   y ,   z d S

Onde

a) f x ,   y ,   z = x 2 z e S : x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 , com 0 ≤ z ≤ 1 .

Resolução
45.

9) Calcule

∬ S   f x ,   y ,   z d S

Onde

c) f x ,   y ,   z = x e S é a região retangular com vértices 1 ,   0 ,   0 , 0 ,   1 ,   0 e 0 ,   0 ,   1 .

Resolução
46.

9) Calcule ∬ S f ( x , y , z ) d S , onde

d) f x , y , z = z e S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e os planos z = 1 e x + z = 4 .

Resolução
47.

9) Calcule

∬ S   f x ,   y   d S

Onde

e) f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2 e S é a porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 36 , limitada pelos planos z = 0 e z = 3 .

Resolução
48.

9) Calcule

∬ S   f x ,   y , z   d S

Onde

e) f x ,   y ,   z = x 2 y 2 z 2 e S é a parte da superfície cônica z = x 2 + y 2 , limitada por z = 4 - x 2 + y 2 , com z ≥ 0 .

Resolução
49.

6) Calcule o fluxo do campo F → x ,   y ,   z = - y i → + x j → + 4 z 2 k → , através da superfície do sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos z = 0 e z + y = 2 , com a normal apontando para fora do sólido.

Resolução
50.

13) Seja S a superfície do sólido limitado inferiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e superiormente pelo plano z = 1 . Se a densidade de massa é dada por ρ x ,   y ,   z = z , calcule a massa de S .

Resolução
51.

Seja S a superfície definida pela parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 .

  1. Determine uma parametrização para a superfície S juntamente com o domínio D da parametrização.
  2. Parametrize o bordo da superfície.
  3. Use a parametrização para explicitar o elemento de área de superfície.
  4. Calcule a integral

∬ S z d S

Resolução
52.

Considere o cone z 2 = x 2 + y 2 .

a) Calcule a área da parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 que se encontra no primeiro octante (ou seja, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 ) e abaixo do plano z = 2 .

Resolução
53.

Seja S a esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 1 com densidade superficial δ x , y , z = x 2 . A massa de S é igual a:

a) 2 π 3

b) π 3

c) 4 π 3  

d) 16 π 3

e) 8 π 3

Resolução
54.

Seja   S a parte da superfície y = 1 - x 2 com y ≥ 0 e x ≥ 0 , limitada pelos planos z = 0 e z = 8 . Então, o valor de ∫ ∫ S x d σ é:

a) 2 3 3 3 - 1

b) 2 3 2 2 - 1

c) 2 3 8 8 - 1  

d)   2 3 5 5 - 1

e)   2 3 7 7 - 1

Resolução
55.

Determine a área da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Resolução
56.

Calcular a área da parte da superfície z 2 = y 2 - x 2 situada entres os planos

y = 1 2 x + 3   e   y = 0 .

Resolução
57.

Considere S a superfície parametrizada por

r → u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ v , u

Com 1 ≤ u ≤ 3 e 0 ≤ v ≤ 2 π

(a) Determine o vetor normal unitário de S no ponto P 0 = 1 , 3 , 2 de S que aponta para cima

(b) Calcule a área de S .

Resolução
58.

Calcule ∬ S 1 + x 2 + y 2 d S