Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da superfície z = 1 + 3 x + 2 y 2 que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 0,1 e 2,1 .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

∂ z ∂ x = 3

∂ z ∂ y = 4 y

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + 3 2 + 4 y 2 d A = ∬ D 10 + 16 y 2 d A

A nossa região pode ser visualizada abaixo:

A região pode ser descrita como tanto do tipo I quanto do tipo II. Devido à presença de uma função de y dentro da raiz, a integral se torna mais fácil de ser resolvida se descrevermos a região como sendo do tipo II. Portanto,

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ 2 y

Passo 3

Agora, só nos basta aplicarmos os limites de integração e resolvermos a integral. Portanto,

A S = ∫ 0 1 ∫ 0 2 y 10 + 16 y 2 d x d y

A S = ∫ 0 1 2 y 10 + 16 y 2 d y

Pra resolver essa integralzinha vamos fazer a seguinte substituição

u = 10 + 16 y 2 → d u = 32 y d y → 2 y d y = d u 16

y = 0 → u = 10

y = 1 → y = 26

Assim

A S = ∫ 10 26 d u 16 u 1 / 2 = 1 16 2 3 u 3 / 2 10 26 = 1 24 26 3 - 10 3

Belezinha? :D

Resposta

A S = 1 24 26 3 - 10 3

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Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.
Encontre o volume da região delimitada superiormente pela superfície z = 4 – y2 e inferiormente pelo retângulo R: 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2.
Encontre o volume da região delimitada superiormente pelo plano z = 2 – x – y e inferiormente pelo quadrado R: 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1
Encontre o volume da região delimitada superiormente peloplano z = y/2 e inferiormente pelo retângulo R: 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 2.
Encontre o volume da região delimitada superiormentepelo paraboloide z = x2 + y2 e inferiormente pelo quadradoR: –1 ≤ x ≤ 1, –1 ≤ y ≤ 1.