Enunciado

Determine a equação do plano.

36. O plano que passa pelo ponto 1 , - 1,1 e contém a reta com equações simétricas x = 2 y = 3 z

Passo 1

Bom, a equação geral de um plano pode ser dada por a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0 , onde x 0 , y 0 , z 0 é um ponto nesse plano e ( a , b , c ) é o vetor normal ao plano.

Para encontrarmos um vetor normal ao plano, precisamos de dois vetores pertencentes a esse plano, olhando para a equação simétrica, conseguimos encontrar um vetor. Basta darmos o valor para uma das variáveis que automaticamente temos as outras duas. Então vamos dizer que z = 2 , por exemplo.

Como x = 3 z ,

x = 3 2 = 6

E como x = 2 y

6 = 2 y

y = 3

Assim, descobrimos que o vetor ( 6 , 3 , 2 ) pertence ao plano.

A questão nos disse que ( 1 , - 1,1 ) é um ponto nesse plano, e substituindo um valor aleatório para uma das variáveis na equação simétrica da reta, encontramos outro ponto. Fazendo x = 0 , encontramos o ponto ( 0,0 , 0 ) .

Agora com esses dois pontos, podemos encontrar o vetor que faltava ao fazermos a diferença entre eles:

1 , - 1 , 1 - 0 , 0 , 0 = ( 1 , - 1 , 1 )

Beleza! Para encontrar um vetor normal ao plano, podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

( 6,3 , 2 ) x 1 , - 1,1 = i j k 6 3 2 1 - 1 1 = ( 5 , - 4 , - 9 )

Pronto! Agora temos o vetor normal e um ponto, falta só colocar na fórmula:

5 x - 1 - 4 y + 1 - 9 z - 1 = 0

5 x - 5 - 4 y - 4 - 9 z + 9 = 0

5 x - 4 y - 9 z = 0

Resposta

5 x - 4 y - 9 z = 0

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