Enunciado

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = ln ⁡ x no ponto de abscissa 1 . Esboce os gráficos de f e da reta tangente.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nesta questão temos que achar a equação da reta tangente. Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Como problema diz que o ponto é na abcissa igual a 1 , temos que x 0 = 1 .

Então agora vamos achar f x 0 e f ' x 0 .

Passo 2

Vamos começar achando f x 0 . Como já vimos que x 0 = 1 :

f x 0 = ln ⁡ x 0 → f 1 = ln ⁡ 1 = 0

Passo 3

Agora vamos encontrar f ' x .

f ' x = ln ⁡ x → f ' x = 1 x

Então,

f ' 1 = 1 1 = 1

Passo 4

Substituindo f x 0 e f ' x 0 na fórmula, ficamos com

y - 0 = 1 x - 1

Logo, a equação da reta tangente é: y = x - 1

Passo 5

Então, o esboço de f e sua reta tangente em x = 1 é:

Resposta

y = x - 1

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