Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 10.9 - Ex. 2
Determine uma função cujo gráfico passe pelo ponto e tal que a reta tangente no ponto de abscissa intercepte o eixo no ponto de abscissa
Passo 1
Vamos começar a questão de número 2 que é bem maneira !!
Sabemos que:
Ou melhor:
Sabemos também que:
Se a reta tangente contem os pontos e :
Com isso nós podemos chamar:
Derivando P em y e Q em x:
Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.
Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função para que o produto se torne uma equação exata, ok?
A nossa função é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:
Substituindo:
Multiplicando cada termo por :
Passo 2
Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?
Bom galerinha, vamos começar pela primeira condição:
Quando nós integramos:
Olhando a segunda:
E integrando:
Ou melhor:
Portanto nós concluímos que a equação é exata e suas condições são dadas implicitamente por , em que é uma constante.
Como o gráfico passe pelo ponto
Então:
Sendo assim:
Se isolarmos y:
De boa, não é?