Enunciado

  1. Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescente
  2. Identifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem

f x = x 1 3 ( x + 8 )

Passo 1

f x = x 1 3 ( x + 8 ) = x 4 3 + 8 x 1 3

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f para encontrar os pontos críticos

f ' x = 4 3 x 1 3 +   8 3 x - 2 3

f ' x =   4 ( x + 2 ) 3 x 2 3

Igualamos a zero

4 ( x + 2 ) 3 x 2 3 = 0

4 ( x + 2 ) = 0

4 x + 8 = 0  

x = - 2

No denominador, a função não está definida quando o denominador é igual a zero. Mas o denominador igualado a zero também é um ponto crítico:

3 x 2 3 = 0

x = 0

Pontos críticos: - 2,0

Passo 2

Agora, vamos fazer o estudo do sinal para verificar onde a função cresce e decresce. Beleza?

Logo,

f   é crescente nos intervalos - 2,0 ⋃ ( 0 , ∞ )

f é decrescente nos intervalos ( - ∞ , - 2 )

Passo 3

Assim, não temos máximos locais, nem máximo absoluto.

O valor de mínimo local é: de f - 2 = - 6 2 3   nos pontos x = - 2 que também é o mínimo absoluto.

Resposta

  1. f   é crescente nos intervalos - 2,0 ⋃ ( 0 , ∞ ) ; f é decrescente nos intervalos ( - ∞ , - 2 )
  2. Não há máximos locais, nem máximo absoluto.

mínimo local é: de f - 2 = - 6 2 3   nos pontos x = - 2 que também é o mínimo absoluto.

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