Enunciado

Determine uma janela de visualização apropriada para a função dada e a utilize para exibir o gráfico da função:

f ( x ) = 8 x 2 - 9  

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos para ser resolvida. Sendo assim, utilizaremos de softwares para obtermos o gráfico da função. Entretanto, antes de colocarmos a “mão na massa”, é necessário discutir o que é uma janela de visualização apropriada. Com estas palavras, a questão pede que, dentro de uma janela, todas as propriedades de uma função estejam nelas, isto é: mudanças de concavidade ou de crescimento/decrescimento; se existe algum máximo/mínimo local; comportamento quando ela vai para o valor de x vai para o infinito; etc.

Vamos exemplificar essa teoria, e para isto tome a função periódica f x = s e n ( x ) . Basta obtermos uma janela com o eixo x variando entre [ - 2 π ; 4 π ] e o eixo y variando entre [ - 1 ; 1 ] que conseguimos esboçar todo o comportamento da nossa função.

Sendo assim, a nossa análise inicial consistirá em obter duas janelas de visualização: uma grande (amplitude da variação de x alta) e uma pequena. A partir destas duas janelas, será discutido as propriedades da função e ajustes serão feitos na janela para assim obtermos uma janela apropriada e o gráfico final da função.

Passo 2

Vejamos então duas janelas iniciais:

O gráfico da esquerda (a) e o da direita (b) são as de janela grande e pequena respectivamente. Observando a de janela grande é possível observar a presença de uma assíntota horizontal, isto é, à medida que x cresce, o valor de f ( x ) tende a se aproximar de um valor L . Isto é visualizado a partir da semelhança do comportamento do gráfico com o de uma reta horizontal y   = k para valores grandes de x . Além disto, também é possível observar a presença de duas assíntotas verticais, em x = ± 3 , pontos que não pertencem ao domínio. À medida que x se aproxima de ± 3 e 3 , a função tende a “explodir”, isto é, f x → ± ∞ .

Já ao observarmos o gráfico (b), pode-se visualizar bem a descontinuidade da função em x = ± 3 , pontos não pertencentes ao domínio, e o comportamento assintótico da função em torno dele. Além disto, podemos observar a presença de um ponto de máximo local em x = 0 (antes dele a função cresce e depois dele ela decresce). Entretanto, não é possível observar a assíntota horizontal.

Sendo assim, a janela final deve conter as propriedades discutidas no gráfico (a) e (b).

Passo 3

Vamos agora obter um novo gráfico e observar se é possível visualizar tudo que foi discutido anteriormente. Portanto, temos:

O gráfico assim, cuja janela é [ - 10 ; 10 ] por [ - 6 ; 6 ] apresenta todas as propriedades discutidas no passo 2. Logo, é uma janela de visualização apropriada para a nossa função.

Resposta

Janela de [ - 10 ; 10 ] por [ - 6 ; 6 ]

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