Enunciado

Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .

a = 3 i + 2 j + 4 k ,     b = i - 2 j - 3 k

Passo 1

Precisamos calcular um produto vetorial. Para isto, basta calcular o determinante da matriz abaixo:

a × b = i j k 3 2 4 1 - 2 - 3

a × b = 2 ⋅ - 3 - - 2 ⋅ 4 i + 4 ⋅ 1 - - 3 ⋅ 3 j + 3 ⋅ - 2 - 1 ⋅ 2 k

a × b = - 6 + 8 i + 4 + 9 j + - 6 - 2 k

a × b = 2 i + 13 j - 8 k

Pronto! Conseguimos determinar o produto vetorial a × b !

Passo 2

Para checarmos ortogonalidade entre vetores, basta fazermos o produto interno e verificar que ele é igual a 0. Portanto,

a ⋅ a × b = 3 i + 2 j + 4 k ⋅ 2 i + 13 j - 8 k

a ⋅ a × b = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 13 + 4 ⋅ - 8

a ⋅ a × b = 6 + 26 - 32 = 0

Já para o vetor b , temos:

b ⋅ a × b = i - 2 j - 3 k ⋅ 2 i + 13 j - 8 k

b ⋅ a × b = 1 ⋅ 2 + - 2 ⋅ 13 + - 3 ⋅ - 8

b ⋅ a × b = 2 - 26 + 24 = 0

Resposta

a × b = 2 i + 13 j - 8 k

a ⋅ a × b = b ⋅ a × b = 0

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Dados os vetores u → = 2 ,- 1 ,1 ,v → = ( 1 ,- 1 ,0 ) e w → = ( - 1 ,2 ,2 ) , calcular:a) w → × v →
Dados os vetores u → = 2 ,- 1 ,1 ,v → = ( 1 ,- 1 ,0 ) e w → = ( - 1 ,2 ,2 ) , calcular:b) v → × ( w → - u → )
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Determinar o valor de m para que o vetor w → = ( 1 ,2 ,m ) seja simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 2 ,- 1 ,0 ) e v 2 → = ( 1 ,- 3 ,- 1 ) .