Determine x para que a série seja convergente.

sum_(n = 1)^(+ oo) (n ! x^n)/(n^n)

Passo 1

Bora pra letra f !!

Usando o critério da razão:

L = underset(n -> oo)(lim) [(a_n + 1)/(a_n)] = underset(n -> oo)(lim) [((( n + 1 ) ! x^(n + 1))/(( n + 1 )^(n + 1)))/((n ! x^n)/(n^n))] = underset(n -> oo)(lim) [(( n + 1 ) ! x^(n + 1))/(( n + 1 )^(n + 1)) xx (n^n)/(n ! x^n)]

Sendo assim:

L = underset(n -> oo)(lim) [(( n + 1 ) n ! x^n x)/(( n + 1 )^(n + 1)) xx (n^n)/(n ! x^n)] = underset(n -> oo)(lim) [(n^n x)/(( n + 1 )^n)]

Reorganizando:

L = underset(n -> oo)(lim) [((n)/(n + 1))^n x] = underset(n -> oo)(lim) [((n + 1)/(n))^(- n) x] = underset(n -> oo)(lim) [(1 + (1)/(n))^(- n) x]

= underset(n -> oo)(lim) [(x)/((1 + (1)/(n))^n)]

Podemos reescrever este limite da seguinte forma:

L = underset(n -> oo)(lim) [x] xx underset(n -> oo)(lim) [(1)/((1 + (1)/(n))^n)] = underset(n -> oo)(lim) [x] xx (underset(n -> oo)(lim) [1])/(underset(n -> oo)(lim) [(1 + (1)/(n))^n])

Já sabemos que:

underset(n -> oo)(lim) [x] = | x |

underset(n -> oo)(lim) [1] = 1

Enquanto o último limite pode ser resolvido lembrando da propriedade que nos diz:

underset(n -> oo)(lim) [(1 + (1)/(n))^n] = e

Sendo assim:

L = (|x|)/(e)

Então a série irá convergir para:

(|x|)/(e) < 1

Aplicando o ln:

| x | < e

E fiiim !!

Resposta

x < e

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