Calcule a soma da série dada.

sum_(k = 1)^n (2 k + 1)/(k^2 (k + 1)^2)

Passo 1

Bom galerinha, se nós analisarmos a série do enunciado podemos perceber que ela é telescópica, certo?

Nestes casos nós podemos fazer a série como função de:

sum_(k = 0)^n b_k - b_k + 1

Se:

b_k = (1)/(k^2)

b_k + 1 = (1)/(( k + 1 )^2)

Reorganizando:

sum_(k = 1)^n (2 k + 1)/(k^2 (k + 1)^2) = sum_(k = 1)^n [(1)/(k^2) - (1)/((k + 1)^2)]

Uma pequena mudança, mas continua tudo igual, não é?

Resolvendo:

sum_(k = 1)^n [(1)/(k^2) - (1)/((k + 1)^2)] = (1 + (1)/((k + 1)^2))

Quando aplicamos o limite:

underset(k -> oo)(lim) (1 + (1)/((k + 1)^2)) = 1

Portanto a série vai convergir para 1 .

Tranquilinha, né?

Resposta

sum_(k = 1)^n (2 k + 1)/(k^2 (k + 1)^2) = 1

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