Determine x>0 para que a série seja convergente.

c)   ∑ n = 1 + ∞ n x n n 3 + 1

Passo 1

BOA NOITE/BOA TARDE/BOM DIA MEUS CONSAGRADOS, Animados? Bora para essa questão, Botar o Guidorizzi no bolso. Para resolver ela utilizaremos o Teste da razão, se você não sabe o que é o teste da razão, então, vai ver algumas aulas que a gente tem no site sobre esse assunto.

Passo 2

Essa parte do teste da razão é bem simples, te liga:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x n + 1 n + 1 3 + 1 n x n n 3 +   1 = L

lim n → ∞ ⁡ n 3 +   1 n x n   x n   x 1 n + 1 2 +   1 = L

lim n → ∞ ⁡     ( x n 3 + x ) n ( n 2 + 2 n + 2 ) = L

lim n → ∞ ⁡   n 3 (   x + x n 3 ) n 3 ( 1 + 2 n + 2 n 2 ) = L

lim n → ∞ ⁡   x + x n 3 1 + 2 n + 2 n 2 = L

L = x ,   ∀ x > 0

Como a questão pede para determinarmos x>0 para a série ser convergente, então, a série acima converge!

Obs: O resultado será o mesmo para todo x > 0 devido ao módulo presente no limite, lembre-se que x =   x 2 2 , logo, sempre positivo.

Resposta

L = x ,   ∀ x > 0 , então a série converge

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