Lembrando que ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) = 2 int_0^(alpha) (1)/(1 - x^2) d x , com 0 < |alpha| < 1 , mostre que:

  1. ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1)

Passo 1

Tendo em mente a seguinte série geométrica:

(1)/(1 - r) = 1 + r + r^2 + ... + r^n + (r^(n + 1))/(1 - r)

Válida no intervalo |r| < 1 -> - 1 < r < 1

Substituindo r = x^2

(1)/(1 - x^2) = 1 + x^2 + x^4 + ... + x^(2 n) + (x^(2 n + 1))/(1 - x^2)

Passo 2

Temos que:

ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) = ln (1 + alpha) - ln (1 - alpha) = int_0^(alpha) (1)/(1 + x) d x - int_0^(alpha) - (1)/(1 - x) d x = 2 int_0^(alpha) (1)/(1 - x^2) d x

Logo,

2 int_0^(alpha) (1)/(1 - x^2) = 2 int_0^(alpha) 1 d x + 2 int_0^(alpha) x^2 d x + ... + 2 int_0^(alpha) x^(2 n) d x + 2 int_0^(alpha) (x^(2 n + 1))/(1 - x^2) d x =

Passo 3

Temos então que:

= ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) = 2 {alpha + (alpha^3)/(3) + ... + (alpha^(2 n + 1))/(2 n + 1)} + 2 int_0^(alpha) (x^(2 n + 1))/(1 - x^2) d x

Mas,

underset(n -> oo)(lim) 2 int_0^(alpha) (x^(2 n + 1))/(1 - x^2) d x = 0

Então,

ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1)

Resposta

ln ((1 + alpha)/(1 - alpha)) = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1) ; conforme queríamos demonstrar.

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