Enunciado

Determine a solução

f ) overset(¨)(y) + 2 overset(˙)(y) = 4

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

y (t) = y_h + y_p

Sendo y_h uma solução homogênea e y_p a parte da solução particular.

Para achar o y_h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

overset(¨)(y) + 2 overset(˙)(y) = 0

Se usarmos, para esse caso que y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(y) + 2 overset(˙)(y) = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 2 lambda e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda) = 0 -> lambda^2 + 2 lambda = 0 -> lambda (lambda + 2) = 0 -> lambda = 0 e lambda = - 2

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o y_h (t) pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 então podemos reescrever y_h (t) como sendo:

y_h (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = 0 e lambda_2 = - 2

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

y_h (t) = [A e^(0 t) + B e^(- 2 t)] = A + B e^(- 2 t)

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f (t) = a_0 sin alpha t , procede como no caso, f (t) = a_0 cos alpha t

Temos que para o nosso caso f (t) = 4 , ou seja, vamos considerar f (t) = P_l (t) ,Porém para esse caso c != 0 assim vamos usar y_p = t P_l (t) , como P_l (t) deve ser um polinômio de mesmo grau que f (t) , vamos considerar: y_p = m t , ou seja, uma constante, já que f (t) tem grau 0.

Daí substituímos na equação e teremos:

overset(¨)(y) + 2 overset(˙)(y) = 4 -> overset(¨)(t m) + 2 overset(˙)(t m) = 4 -> 2 m = 4 -> m = 2

Assim:

y_p = 2 t

Passo 4

Substituindo:

y (t) = A + B e^(- 2 t) + 2 t

Resposta

y (t) = A + B e^(- 2 t) + 2 t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o problema de contorno, se possível. y ´ ´ + 4 y ´ + 29 y = 0 y 0 = 1 ,y π = - e - 2 π
6- Para a mola do Exercício 4 , determine a constante de amortecimento que deve produzir amortecimento crítico.
4- Uma mola com uma massa de 3k g tem uma constante de amortecimento 30, e a constante da mola é 123Determine a posição da massa no instante t se ele começar em uma posição de equilíbrio com uma veloc
Uma mola com massa de 3k g é mantida esticada 0.6m além de seu comprimento natural por uma força de 20N . Se a mola começar em sua posição de equilíbrio, mas um empurrão der sua velocidade inicial de
2- Uma mola com uma massa de 4k g tem um comprimento natural de 1m e é mantida esticada até um comprimento de 1.3m por uma força de 24.3N . Se a mola for comprimida até um comprimento de 0.8m e for so