Determine a solução

f) y¨ + 2y˙ = 4

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

y t = y h + y p

Sendo y h uma solução homogênea e y p a parte da solução particular.

Para achar o y h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

y ¨ + 2 y ˙ = 0

Se usarmos, para esse caso que y = e λ t → y ˙ = λ e λ t → y ¨ = λ 2 e λ t , assim:

y ¨ + 2 y ˙ = 0 → λ 2 e λ t + 2 λ e λ t = e λ t λ 2 + 2 λ = 0

e λ t λ 2 + 2 λ = 0 → λ 2 + 2 λ = 0 → λ λ + 2 = 0 → λ = 0   e   λ = - 2  

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o y h t pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 ≠ λ 2 então podemos reescrever y h t como sendo:

y h t = A e λ 1 t + B e λ 2 t   A ,   B   ϵ R

Para o nosso caso: λ 1 = 0   e λ 2 = - 2

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

y h t = A e 0 t + B e - 2 t   = A + B e - 2 t

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f t = a 0 sin ⁡ α t , procede como no caso, f t = a 0 cos ⁡ α t

Temos que para o nosso caso f t = 4 , ou seja, vamos considerar f t = P l t ,Porém para esse caso c ≠ 0 assim vamos usar y p = t P l t , como P l t deve ser um polinômio de mesmo grau que f t , vamos considerar:   y p = m t , ou seja, uma constante, já que f t tem grau 0.

Daí substituímos na equação e teremos:

y ¨ + 2 y ˙ = 4 → t m ¨ + 2 t m ˙ = 4 → 2 m = 4 → m = 2

Assim:

y p = 2 t

Passo 4

Substituindo:

y t = A + B e - 2 t + 2 t

Resposta

y t = A + B e - 2 t + 2 t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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