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Determine uma solução y = y ( x ) de

3 x + 2 y - 5 d x + - 2 x + y + 1 d y = 0

Cujo gráfico passe pelo ponto ( 0 ,   0 )

S u g e s t ã o : V e j a   o   E x e m p l o   12   d e s t a   S e ç ã o .

Passo 1

Aceitando a S u g e s t ã o .

Primeiramente faremos a mudança de variáveis:

x = u + 1 y = v + 1

Temos:

d x = d u   e   d y = d v

Logo:

3 u + 2 v d u + - 2 u + v d v = 0

Como estamos trabalhando com uma solução que passe pelo ponto ( 0 ,   0 ) não podemos dividir os membros, o que geraria uma indefinição.

Rearranjando:

d v d u = 3 u + 2 v 2 u - v

Passo 2

Fazendo:

s = v u   e   d v d u = u d s d u + s

Temos:

u d s d u + s = 3 u + 2 u s 2 u - u s = 3 + 2 s 2 - s

d s d u = 1 u 3 + 2 s 2 - s - s

d s d u = 1 u 3 + 2 s - 2 s + s 2 2 - s = 1 u 3 + s 2 2 - s

Separando as variáveis:

2 - s 3 + s 2 d s = d u u

Passo 3

Integrando:

∫ 2 - s 3 + s 2 d s = ∫ d u u

Obtemos:

2 3 arctan ⁡ s 3 - 1 2 ln ⁡ 3 + s 2 = ln ⁡ u + c

Voltando s = v u :

2 3 arctan ⁡ v u 3 - 1 2 ln ⁡ 3 + v u 2 2 = ln ⁡ u + c

Voltando:

x = u + 1 y = v + 1

Temos:

2 3 arctan ⁡ y - 1 3 x - 1 - 1 2 ln ⁡ 3 + y - 1 2 x - 1 2 = ln ⁡ ( x - 1 ) + c

Passo 4

Aplicando a condição de passagem pelo ponto ( 0 ,   0 ) :

2 3 arctan ⁡ 0 - 1 3 0 - 1 - 1 2 ln ⁡ 3 + 0 - 1 2 0 - 1 2 = ln ⁡ | x - 1 | + c

0 - 1 2 ln ⁡ 3 + 1 = 0 + c

c = - 1 2 ln ⁡ 4 = - ln ⁡ 2

Então:

2 3 arctan ⁡ y - 1 3 x - 1 - 1 2 ln ⁡ 3 + y - 1 2 x - 1 2 - ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ 2 = 0

Resposta

2 3 arctan ⁡ y - 1 3 x - 1 - 1 2 ln ⁡ 3 + y - 1 2 x - 1 2 - ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ 2 = 0

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