Determine uma solução da equação dada que satisfaz as condições iniciais dadas. (Proceda como no Exemplo 3 da Seção 8.3).

y'' + x²y' + xy = 0, y(0) = 0 e y'(0) = 1

Passo 1

Vamo que vamooo porque esta aqui é bem legal!!

y x = ∑ n = 0 + ∞ a n x n

Sendo assim, as derivadas ficam fáceis:

y ' x = ∑ n = 1 + ∞ n a n x n - 1

y " x = ∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2

Na fórmula:

∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2 + x ² ∑ n = 1 + ∞ n a n x n - 1 + x ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 1 + ∞ n a n x n + 1 + ∑ n = 0 + ∞ a n x n + 1 = 0

Reorganizando:

∑ n = - 1 + ∞ n + 3 ( n + 2 ) a n + 3 x n + 1 + ∑ n = 1 + ∞ n a n x n + 1 + ∑ n = 0 + ∞ a n x n + 1 = 0

a 0 x + 2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 1 + ∞ n + 3 ( n + 2 ) a n + 3 x n + 1 + ∑ n = 1 + ∞ n a n x n + 1 + ∑ n = 1 + ∞ a n x n + 1 = 0

Agora conseguimos isolar tudo em função de x n + 1 :

a 0 x + 2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 1 + ∞ n + 3 n + 2 a n + 3 + ( n + 1 ) x n + 1 = 0

Para atendermos esta igualdade os dois termos devem ser iguais a 0, certo?

a 0 x + 2 a 2 + 6 a 3 x = 0

n + 3 n + 2 a n + 3 + ( n + 1 ) = 0

Vamos guardar esta informação!!

Passo 2

Olhando as condições nós vemos que:

y ( 0 ) = 0

Ou seja, quando x = 0 a nossa função y é somente:

y 0 = a 0 = 0

A próxima:

y ' ( 0 ) = 1

Ou seja, quando x = 0 a nossa função y é somente:

y ' 0 = a 1 = 1

Recapitulando a equação 2 do Passo 1:

a n + 3 = - n + 1 a n n + 3 n + 2

Substituindo:

a 3 = - a 0 6 = 0

a 4 = - 2 a 1 3.4 = - 2 3.4

Abrindo uma aspas aqui e olhando a equação 1 do Passo 1, nós concluímos que a 2 = 0 :

a 5 = - a 2 4.5 = 0

Continuando:

a 6 = - 4 a 3 5 . 6 = 0

a 7 = - 5 a 4 6 . 7 = 2 . 5 3.4 . 6.7

a 10 = - 8 a 7 9.10 = - 2.5 . 8 3.4 . 6.7 . 9.10

Analisando esta equação nós podemos ver um padrão:

a 3 n = 0 ,     p a r a   n ≥ 1

E os coeficiente que vão apresentar um valor diferente de zero são:

a 3 n + 1 ≠ 0 ,     p a r a   n ≥ 1

Se é assim:

y x = ∑ n = 0 + ∞ a 3 n + 1 x 3 n + 1

E é isto aí galerinhaa !!

Resposta

y x = ∑ n = 0 + ∞ a 3 n + 1 x 3 n + 1

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