Seja α   um real dado, com α um não natural. Considere a equação diferencial linear de 1ª ordem:

y ' = α 1 + x y ,     x > - 1

  1. Mostre que a função:

g x = 1 + ∑ n = 1 + ∞ α α - 1 … ( α - n + 1 ) n ! x n     ,     - 1 < x < 1

É uma solução da equação dada pelo enunciado do problema e que g ( 0 ) = 1 .

Sugestão: Mostre que 1 + x ' g x = α g x .

Passo 1

Vamos que vamos turmaaa!!!

Quando x < 1 a série é convergente, certo? Já que acabamos de achar na letra c que o raio de convergência é igual 1 !!

Se é assim nós podemos derivá-la termo a termo, logo:

g ' x = ∑ n = 1 + ∞ n . α α - 1 … ( α - n + 1 ) n ! x n - 1    

Multiplicando por x:

x . g ' x = x ∑ n = 1 + ∞ n . α α - 1 … ( α - n + 1 ) n ! x n - 1    

x . g ' x = ∑ n = 1 + ∞ n . α α - 1 … ( α - n + 1 ) n ! x n    

Voltando ao termo g ' x nós podemos reorganizá-lo para obtermos a fórmula:

g ' ( x ) = α + ∑ n = 1 + ∞ α α - 1 … ( α - n + 1 ) ( α - n ) n ! x n    

Então, quando fazemos:

g ' x + x . g ' x = α + ∑ n = 1 + ∞ α α - 1 … ( α - n + 1 ) ( α - n ) n ! x n   + ∑ n = 1 + ∞ n . α α - 1 … ( α - n + 1 ) n ! x n    

g ' x + x . g ' ( x ) = α + ∑ n = 1 + ∞ α α - 1 … ( α - n + 1 ) ( α - n + n ) n ! x n  

( 1 + x ) g ' ( x ) = α + α ∑ n = 1 + ∞ α α - 1 … ( α - n + 1 ) n ! x n  

Isolando o α :

( 1 + x ) g ' ( x ) = α 1 + ∑ n = 1 + ∞ α α - 1 … α - n + 1 n ! x n

Agora sim:

( 1 + x ) g ' ( x ) = α g ( x )

g ' ( x ) = α ( 1 + x ) g ( x )

Então, g ( x ) é a solução da equação do enunciado !!

Tranquilinho ??

Resposta

g ' ( x ) = α ( 1 + x ) g ( x )

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