Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada

dy/dx = (x + 2y) / (1 - 2x) e y(1) = 1

Passo 1

É isso aiii!!

Bora animar galerinhaa, que vamos pra mais umaaa!!

Vamos reorganizar a equação:

1 - 2 x d y = x + 2 y d x

Ou melhor:

x + 2 y d x - 1 - 2 x d y = 0

Para atender a igualdade acima nós vamos assumir que:

d φ d x = x + 2 y

d φ d y = 2 x - 1

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função φ = φ ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d φ = x + 2 y . d x

Quando nós integramos:

φ = x 2 2 + 2 x y

Agora, para ter a segunda condição:

d φ = ( 2 x - 1 ) d y

Quando nós integramos:

φ = 2 x y - y

Se é assim:

φ x ,   y = x 2 2 + 2 x y - y

Portanto nós concluímos que a equação 3 x 2 + y d x + ( x + 4 ) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x 2 2 + 2 x y - y = k , em que k é uma constante.

Passo 2

Agora nós precisamos saber que, quando y 1 = 1 nós podemos substituir:

x = 1     e     y = 1

Substituindo:

φ 1 ,   1 = 1 2 2 + 2 . 1.1 - 1 = k

Então:

k = 3 2

Agora que achamos o valor da nossa constante nós concluímos que:

x 2 2 + 2 x y - y = 3 2

Como nós queremos o valor de y que permite a derivada acima nós vamos isolá-lo:

2 x - 1 y = 3 2 - x 2 2 = 3 - x 2 2

y = 3 - x 2 2 2 x - 1

y = 3 - x 2 4 x - 2

Então nós concluímos que a solução de d y d x = x + 2 y 1 - 2 x para y 1 = 1 será y = 3 - x 2 4 x - 2 !!

Gostosinha demais de fazer, não foi ??

Resposta

y = 3 - x 2 4 x - 2

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