Determine uma solução que satisfaz a condição inicial dada

dy/dx = -(2x + sen(y)) / (x * cos(y)), -π/2 < y < π/2, e y1 = π/6

Passo 1

Vamos seguindo para a letra c!!

Vamos reorganizar a equação:

x cos ⁡ y d y = - 2 x + sin ⁡ y d x

Ou melhor:

x cos ⁡ y d y + 2 x + sin ⁡ y d x = 0

Para atender a igualdade acima nós vamos assumir que:

d φ d y = x cos ⁡ y

d φ d x = 2 x + sin ⁡ y

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função φ = φ ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d φ = x cos ⁡ y . d y

Quando nós integramos:

φ = x sin ⁡ y

Agora, para ter a segunda condição:

d φ = ( 2 x + sin ⁡ y ) d x

Quando nós integramos:

φ = x 2 + x sin ⁡ y

Se é assim:

φ x ,   y = x 2 + x sin ⁡ y

Portanto nós concluímos que a equação x cos ⁡ y d y + 2 x + sin ⁡ y d x = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x 2 + x sin ⁡ y = k , em que k é uma constante.

Passo 2

Agora nós precisamos saber que, quando y 1 = π 6 nós podemos substituir:

x = 1     e     y = π 6

Substituindo:

φ 1 ,   π 6 = 1 2 + 1 . sin ⁡ π 6 = k

Então:

k = 3 2

Agora que achamos o valor da nossa constante nós concluímos que:

x 2 + x sin ⁡ y = 3 2

Como nós queremos o valor de y que permite a derivada acima nós vamos isolá-lo:

sin ⁡ y = 3 - 2 x 2 2 x

y = arcsin ⁡ 3 - 2 x 2 2 x

Então nós concluímos que a solução de d y d x = - 2 x + sin ⁡ y x cos ⁡ y para y 1 = 0 será y = arcsin ⁡ 3 - 2 x 2 2 x

!!

Gostosinha demais de fazer, não foi ??

Resposta

y = arcsin ⁡ 3 - 2 x 2 2 x

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