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Determine os valores extremos (absoluto e local) das funções e onde ocorrem:

y = s e n - 1 ( e x )

Passo 1

Sabendo que um ponto crítico é um valor extremo de uma função, a derivada da função deve ser igual a 0, uma vez que representa a inclinação de uma reta tangente que passa por esse ponto.

Encontrados os pontos críticos, é necessário ter noções do gráfico da função para classificá-los como máximo ou mínimo, global ou local.

Passo 2

Sabendo que s e n - 1 x = a r c s e n ( x ) , derivamos usando a regra da cadeia:

y ' = 1 1 - e x 2 × e x = e x 1 - e 2 x  

Passo 3

Calculando y ' = 0 , teremos:

e x 1 - e 2 x = 0

e x × 1 - e 2 x 1 - e 2 x = 0

e x = 0  

1 - e 2 x = 0

1 - e 2 x = 0 2

e 2 x = 1

ln ⁡ e 2 x = ln ⁡ 1

2 x = 0

x = 0

Passo 4

Calculando a segunda derivada, pela regra do quociente, teremos:

y ' ' = e x × 1 - e 2 x + e x × 2 e 2 x 2 1 - e 2 x 1 - e 2 x

Como a segunda derivada é positiva, a concavidade é voltada para cima.

Passo 5

Substituindo o ponto na função original, temos:

y 0 = s e n - 1 e 0 = π 2

Resposta

G l o b a l   M á x i m o   e m   x = 0

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