Enunciado

Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f

F → x , y = ln ⁡ y + 2 x y ³ i → + 3 x 2 y ² + x / y j →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Primeiro de tudo, vamos verificar que esse campo é conservativo. Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ ln ⁡ y + 2 x y 3 ∂ y = 1 y + 2 x . 3 y 2 = 1 y + 6 x y 2

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ 3 x 2 y ² + x / y ∂ x = 3.2 x . y 2 + 1 y = 6 x y 2 + 1 y

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

Passo 2

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ y e integrar em relação à y :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( ln ⁡ y + 2 x y 3 ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x l n   y + x 2 y 3 + g ( y )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = x y + 3 x 2 y 2 + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = 3 x 2 y ² + x / y

E agora vamos igualar os dois lados!

3 x 2 y ² + x / y = x y + 3 x 2 y 2 + g ' ( y )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = 0

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0 d y = + C

g y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = f = x l n   y + x 2 y 3 + C

Resposta

f = x l n   y + x 2 y 3 + C

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