Lista de Exercícios Resolvidos de Função Potencial

Ver Teoria

Seja Ω = x , y ∈ R 2 x , y ∉ A } , onde A é a semi-reta x , y ∈ R 2 y = 0   e   x ≥ 0 } . Calcule

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y

Onde γ : 0,1 → R 2 é uma curva C 1 por partes, com imagem contida em Ω , tal que γ 0 = ( 1,1 ) e γ 1 = ( 1 , - 1 ) .

Ver solução completa

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. A função f x , y , z = 1 r , onde r = x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 ≠ 0 , é um potencial para o campo F → r = - 1 r 3 r → , para r → = x , y , z ∈ R 3 - 0,0 , 0 .

Ver solução completa

Encontre o trabalho realizado por F = x 2 + y   i + y 2 + x   j + z e z   k sobre os caminhos de ( 1,0 , 0 ) a ( 1,0 , 1 ) a seguir.

  1. O segmento de reta x = 1 , y = 0 , 0 ≤ z ≤ 1
  2. A hélice r t = cos ⁡ t   i + sin ⁡ t   j + t 2 π k , 0 ≤ t ≤ 2 π
  3. O eixo x de ( 1,0 , 0 ) a 0,0 , 0 seguido pela parábola z = x 2 , y = 0 de 0,0 , 0 a 1,0 , 1 .

Ver solução completa

Mostre que os valores da integral

∫ A B z 2 d x + 2 y   d y + 2 x z   d z

Não depende do caminho tomado de A a B.

Ver solução completa

Encontre uma função potencial f para o campo F = y sen ⁡ z i + x sen ⁡ z j + x y cos ⁡ z k

Ver solução completa

Determine uma função f tal que F = ∇ f sendo F   x ,   y = y   i + x + 2 y     j e use este resultado para calcular ∫ C   F . d r   sobre a curva definida pela semicircunferência superior que começa em ( 0 ,   1 ) e termina em ( 2 ,   1 ) .

Ver solução completa

Considere a curva C parametrizada por σ → = e t - 1 ,       sen ( π / t ) , 1 ≤ t ≤ 2 . Calcule ∫ C   F ⋅ d r , onde F → = ( 2 x cos ⁡ y ,   - x 2 sen   y ) .

Ver solução completa

Seja F → x , y = y 2 cos ⁡ x + e x ,   y 3 + 2 y   s e n   x

  1. Mostre que F → é conservativo.
  2. Calcule ∫ γ   F → . d r → , onde γ t = t 3 , s e n 2   a r c t g   t 2 ,   t ∈ 0,1 .

Ver solução completa

Seja F → x , y = x + a r c t g ( y ) i → + x + y 1 + y 2   j → . Mostre que a integral ∫ γ   F → . d r → é independente do caminho e calcule a integral ∫ ( 0,0 ) ( 1,1 ) F → . d r → .

Ver solução completa

Seja o campo

F → x , y , z = a y z   s e n x y + s e n y z ,   b x z   s e n   x y + x z cos ⁡ y z ,   c x y cos ⁡ y z + cos ⁡ x y

  1. Determine as constantes reais a , b e c de modo que r o t   F → = 0 → .
  2. Para as constantes determinadas no item (a), calcule ∫ γ   F → . d r → onde

γ = x , y , z ϵ   R x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   y = x ,   x ≥ 0 ,   z ≥ 0 }

Orientada de modo que o ponto inicial seja ( 0,0 , 1 ) .

Ver solução completa

Seja F → x , y = 3 x 2 + 2 1 + y , x 1 + y + y 3 . Determine o domínio do campo F → e mostre que F → é conservativo. Calcule

∫ γ   F → . d r →

γ t = 4 t 2 + t 2 + 9 ,   3 t 2 - 1 ,   t ∈ [ - 1,1 ]

Ver solução completa

  1. Verifique que o campo vetorial em R 3
  2. F → x , y , z = 2 x cos ⁡ y + y z ,   x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z ,   x y + 2 y π cos ⁡ z

    É conservativo e determine um potencial para F → .

  3. Calcule a integral de linha

∫ γ   2 x cos ⁡ y + y z d x + x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z d y + x y + 2 y π cos ⁡ z d z

o n d e   γ   é   a   c u r v a x = 2 e t 2 - 1 arctan ⁡ t     y = π t 2 ,             0 ≤ t ≤ 1 z = 1 - t 4                                    

Ver solução completa

Seja F x , y = e - y - 2 x , - x e - y - s e n   y um campo vetorial. Calcule a integral de linha de F sobre a curva C dada pela parametrização σ t = t , tg ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ π / 4 .

Ver solução completa

Determine se o campo vetorial

F x , y , z = s e n   y   i + cos ⁡ y j + e z   k

É conservativo. Calcule a integral de linha ∫ C   F . d r em que C é a curva dada por

r t = s e n   t   i + t   j + 2 t   ,           0 ≤ t ≤ π 2

Ver solução completa

Dado o campo vetorial:

F x , y , z = e x sen ⁡ y + e z cos ⁡ x , e x cos ⁡ y + e y sen ⁡ ( z ) , e y cos ⁡ z + e z sen ⁡ x

Determine a integral de linha de F ao longo da curva C parametrizada por:

γ t = t 3 , sen ⁡ t π 2 , cos ⁡ t π

Com t ∈ 0,1

Ver solução completa

Calcule o trabalho realizado pela força F ( x , y ) para deslocar uma partícula do ponto A ( 0,0 ) até o ponto B ( 1,1 ) ao longo da curva definida por y = x 5 , onde

F x , y = y + 2 x 2 y e x 2 + y + x cos ⁡ x 2 ,   x + x y e x 2 + y + y 4

Ver solução completa

Seja o campo vetorial:

F x , y , z = 2 x z + y 2 , 2 x y + 3 y 2 , e z + x 2

Verifique se F é conservativo e calcule:

∫ C   F ∙ d r

Onde C é a curva dada pela interseção da superfície:

z = 9 - x 2 - y 2

z > - 4

Com o plano:

y = 2

(Oriente C de forma que a coordenada x seja crescente).

Ver solução completa

Seja:

F x , y , z = ( y 2 + 2 b x z , a x y + b y z , b x 2 + y 2 )

Determine as constantes a e b de modo que F seja um campo conservativo.

Usando os valores encontrados no item anterior, calcule:

∫ C   F → ∙ d r →

Onde C é a curva parametrizada por: σ t = t + cos ⁡ π t , 2 t + s e n π t , t

t ∈ 0,1

Ver solução completa

Considere o campo F x , y , z = ( y 2 + z , 2 x y , x ) e R > 0 um parâmetro.

Seja C a curva definida pela interseção da superfície z = R - x 2 + y 2 com o plano x + y = 0 , com z ≥ 0 , orientada com x crescente.

Determine R para o qual

∫ C F ⋅ d r = 17 2

Ver solução completa

Considere o campo

F   → x , y , z = ( y e z + z ,   x e z ,   x y e z )

Calcule a integral de linha ∫ C F   → ∙ d r → , onde C é a interseção da superfície z = 1 - x 2 , z ≥ 0 , com o plano x + y = 1 orientada com x crescente.

Ver solução completa

Seja C uma curva parametrizada por σ → t : 1,2 → R 2 , com

σ → t = 2 - t e t - 1 , sen ⁡ π t

Calcule a integral de linha

∫ C 3 x 2 cos ⁡ e y + 4 x + y d x + 4 x - x 3 e y sen ⁡ e y d y

Ver solução completa

Sejam F 1 → ,   F 2 → ,   F 3 → os campos vetoriais definidos como:

F 1 → x , y = sen ⁡ y   e x sen ⁡ y ,   x cos ⁡ y   e x sen ⁡ y ,   F 2 → x , y = 0 , x ,   F 3 → = F 1 → + F 2 →

Decida, justificando, se cada um dos campos F 1 → ,   F 2 → ,   F 3 → é conservativo ou não.

Ver solução completa

31) Calcule ∫ C   F → ⋅ d r → , onde

F → = P ,   Q = cos ⁡ x y 2 - x y 2 sin ⁡ x y 2 ,   - 2 x 2 y sin ⁡ x y 2

e C é dada por...

  1. C :         r → t = 1 + cos ⁡ t , sin ⁡ t ,       0 ≤ t ≤ 2 π .
  2. C :         r → t = t + t - 1 ln ⁡ 1 + t 2 , - cos ⁡ π 2 t ,       0 ≤ t ≤ 1 .

Ver solução completa

Seja F → = P , Q = cos ⁡ x 2 + x 2 y 3 - y 2 - x , x 3 y 2 + ln ⁡ 2 - x

  1. F → é conservativo? Por quê?
  2. Calcule ∫ C F → ∙ d r → , C : 1 2 + 1 2 cos ⁡ t , 1 2 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π
  3. Calcule ∫ C F → ∙ d r → , C : x - 1 2 + y 2 = 1 ,   x ≤ 1 , orientada no sentido anti-horário

Ver solução completa

32) Seja C qualquer curva unindo qualquer ponto na circunferência x 2 + y 2 = a 2 a qualquer ponto na circunferência x 2 + y 2 = b 2 , b > a > 0 . Seja F → x ,   y = 3 x 2 + y 2 1 2 x ,   y . Mostre que ∫ C   F → ⋅ d r → tem sempre o valor b 3 - a 3 .

Ver solução completa

Verificar que a integral

∫ 1,1 3,3 e x ln ⁡ y - e y x d x + e x y - e y ln ⁡ x d y

Independe do caminho e calculo o seu valor.

Ver solução completa

42) Calcule

∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → x ,   y ,   z = e - y - z e - x , e - z - x e - y , e - x - y e - z   e C é a curva parametrizada por

r → t = ln ⁡ 1 + t ln ⁡ 2 , sin ⁡ π t 2 , 1 - e t 1 - e ,                 0 ≤ t ≤ 1

Ver solução completa

41) Calcule

∫ C   z e x z + y e x y + 6 x d x + x e x y + z e y z d y + x e x z + y e y z - sin ⁡ z d z

Onde C é a curva dada por

r → t = t 2 i → + t - 1 t - 3 j → + π t 3 k → ,                 0 ≤ t ≤ 1

Ver solução completa

40) Calcule

∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → x ,   y ,   z = y z + x 3 ,   x z + 3 y 2 ,   x y + 4 e C é a curva obtida como interseção da superfície z = 5 - y 2 , z ≥ 1 , e x + z = 5 , orientada no sentido de crescimento de y .

Ver solução completa

Considere a hélice r t = ( c o s t ,   s e n t ,   t ) com t ∈ R 3

(1.1) Determine os pontos P 1 e P 2 em que a hélice acima encontra a esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 5

(1.2) Calcule o comprimento de arco C da hélice ligando P 1 a P 2

(1.3) Calcule a integral de linha do campo F x , y , z = x 4 ,   y 10 ,   z ao longo do arco ligando P 1 a P 2 .

Ver solução completa

Calcule a integral de linha

∫ c 1 - y e - x d x + e - x   d y ,

onde c é um caminho suave unindo os pontos 0,1 e 1,2 .

Ver solução completa

Seja

F → = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2

1. seja Z = x , y x > 1 , mostrar que F é conservativo em Z .

2. seja ϕ x , y = a r c t g ( y / x ) ,   mostrar que ϕ ( x , y ) é um potencial de F em Z

3. calcular a integral de F ao longo da curva γ t = 2 ,   2 t para t ∈ [ 0,1 ] ,

4. seja W = R 2 { ( 0,0 ) } . O campo F é conservativo em W ? Justificar a respota.

Ver solução completa

Dados a , b > 0 reais, seja γ o arco da elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 no primeiro quadrante do plano O x y , percorrido de a , 0 para 0 , b . Considere o campo de vetores F → : R 2 → R 2 dado por F → x , y = 2 x y e x 2 , e x 2 . O valor da integral

∫ γ F → ⋅ d r →

é:

Escolha uma:

a) 0

b) a b

c) a + b

d) b

e) a

Ver solução completa

Considere o campo

F = y z   i ^ + x z   j ^ + x y + 2 z k ^

a) Verifique que F é conservativo e calcule f x , y , z