Seja
Ω = x , y ∈ R 2 x , y ∉ A }
, onde
A
é a semi-reta
x , y ∈ R 2 y = 0 e x ≥ 0 }
. Calcule
∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y
Onde
γ : 0,1 → R 2
é uma curva
C 1
por partes, com imagem contida em
Ω
, tal que
γ 0 = ( 1,1 )
e
γ 1 = ( 1 , - 1 )
.
Ver solução completa Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. A função
f x , y , z = 1 r
, onde
r = x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 ≠ 0
, é um potencial para o campo
F → r = - 1 r 3 r →
, para
r → = x , y , z ∈ R 3 - 0,0 , 0 .
Ver solução completa Encontre o trabalho realizado por
F = x 2 + y i + y 2 + x j + z e z k
sobre os caminhos de
( 1,0 , 0 )
a
( 1,0 , 1 )
a seguir.
O segmento de reta
x = 1
,
y = 0
,
0 ≤ z ≤ 1
A hélice
r t = cos t i + sin t j + t 2 π k
,
0 ≤ t ≤ 2 π
O eixo
x
de
( 1,0 , 0 )
a
0,0 , 0
seguido pela parábola
z = x 2
,
y = 0
de
0,0 , 0
a
1,0 , 1
.
Ver solução completa Mostre que os valores da integral
∫ A B z 2 d x + 2 y d y + 2 x z d z
Não depende do caminho tomado de A a B.
Ver solução completa Encontre uma função potencial
f
para o campo
F = y sen z i + x sen z j + x y cos z k
Ver solução completa Determine uma função
f
tal que
F = ∇ f
sendo
F x , y = y i + x + 2 y j
e use este resultado para calcular
∫ C F . d r
sobre a curva definida pela semicircunferência superior que começa em
( 0 , 1 )
e termina em
( 2 , 1 )
.
Ver solução completa Considere a curva
C
parametrizada por
σ → = e t - 1 , sen ( π / t )
,
1 ≤ t ≤ 2
. Calcule
∫ C F ⋅ d r
, onde
F → = ( 2 x cos y , - x 2 sen y )
.
Ver solução completa Seja
F → x , y = y 2 cos x + e x , y 3 + 2 y s e n x
Mostre que
F →
é conservativo.
Calcule
∫ γ F → . d r →
, onde
γ t = t 3 , s e n 2 a r c t g t 2 , t ∈ 0,1
.
Ver solução completa Seja
F → x , y = x + a r c t g ( y ) i → + x + y 1 + y 2 j →
. Mostre que a integral
∫ γ F → . d r →
é independente do caminho e calcule a integral
∫ ( 0,0 ) ( 1,1 ) F → . d r →
.
Ver solução completa Seja o campo
F → x , y , z = a y z s e n x y + s e n y z , b x z s e n x y + x z cos y z , c x y cos y z + cos x y
Determine as constantes reais
a
,
b
e
c
de modo que
r o t F → = 0 → .
Para as constantes determinadas no item (a), calcule
∫ γ F → . d r →
onde
γ = x , y , z ϵ R x 2 + y 2 + z 2 = 1 , y = x , x ≥ 0 , z ≥ 0 }
Orientada de modo que o ponto inicial seja
( 0,0 , 1 )
.
Ver solução completa Seja
F → x , y = 3 x 2 + 2 1 + y , x 1 + y + y 3
. Determine o domínio do campo
F →
e mostre que
F →
é conservativo. Calcule
∫ γ F → . d r →
γ t = 4 t 2 + t 2 + 9 , 3 t 2 - 1 , t ∈ [ - 1,1 ]
Ver solução completa
Verifique que o campo vetorial em
R 3
F → x , y , z = 2 x cos y + y z , x z - x 2 s e n y + 2 π s e n z , x y + 2 y π cos z
É conservativo e determine um potencial para
F →
.
Calcule a integral de linha
∫ γ 2 x cos y + y z d x + x z - x 2 s e n y + 2 π s e n z d y + x y + 2 y π cos z d z
o n d e γ é a c u r v a x = 2 e t 2 - 1 arctan t y = π t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 z = 1 - t 4
é
Ver solução completa Seja
F x , y = e - y - 2 x , - x e - y - s e n y
um campo vetorial. Calcule a integral de linha de
F
sobre a curva
C
dada pela parametrização
σ t = t , tg t , 0 ≤ t ≤ π / 4
.
Ver solução completa Determine se o campo vetorial
F x , y , z = s e n y i + cos y j + e z k
É conservativo. Calcule a integral de linha
∫ C F . d r
em que
C
é a curva dada por
r t = s e n t i + t j + 2 t , 0 ≤ t ≤ π 2
Ver solução completa Dado o campo vetorial:
F x , y , z = e x sen y + e z cos x , e x cos y + e y sen ( z ) , e y cos z + e z sen x
Determine a integral de linha de
F
ao longo da curva
C
parametrizada por:
γ t = t 3 , sen t π 2 , cos t π
Com
t ∈ 0,1
Ver solução completa Calcule o trabalho realizado pela força
F ( x , y )
para deslocar uma partícula do ponto
A ( 0,0 )
até o ponto
B ( 1,1 )
ao longo da curva definida por
y = x 5
, onde
F x , y = y + 2 x 2 y e x 2 + y + x cos x 2 , x + x y e x 2 + y + y 4
Ver solução completa Seja o campo vetorial:
F x , y , z = 2 x z + y 2 , 2 x y + 3 y 2 , e z + x 2
Verifique se
F
é conservativo e calcule:
∫ C F ∙ d r
Onde
C
é a curva dada pela interseção da superfície:
z = 9 - x 2 - y 2
z > - 4
Com o plano:
y = 2
(Oriente
C
de forma que a coordenada
x
seja crescente).
Ver solução completa Seja:
F x , y , z = ( y 2 + 2 b x z , a x y + b y z , b x 2 + y 2 )
Determine as constantes
a
e
b
de modo que
F
seja um campo conservativo.
Usando os valores encontrados no item anterior, calcule:
∫ C F → ∙ d r →
Onde
C
é a curva parametrizada por:
σ t = t + cos π t , 2 t + s e n π t , t
t ∈ 0,1
Ver solução completa Considere o campo
F x , y , z = ( y 2 + z , 2 x y , x )
e
R > 0
um parâmetro.
Seja
C
a curva definida pela interseção da superfície
z = R - x 2 + y 2
com o plano
x + y = 0
, com
z ≥ 0
, orientada com
x
crescente.
Determine
R
para o qual
∫ C F ⋅ d r = 17 2
Ver solução completa Considere o campo
F → x , y , z = ( y e z + z , x e z , x y e z )
Calcule a integral de linha
∫ C F → ∙ d r →
, onde
C
é a interseção da superfície
z = 1 - x 2
,
z ≥ 0
, com o plano
x + y = 1
orientada com
x
crescente.
Ver solução completa Seja
C
uma curva parametrizada por
σ → t : 1,2 → R 2
, com
σ → t = 2 - t e t - 1 , sen π t
Calcule a integral de linha
∫ C 3 x 2 cos e y + 4 x + y d x + 4 x - x 3 e y sen e y d y
Ver solução completa Sejam
F 1 → , F 2 → , F 3 →
os campos vetoriais definidos como:
F 1 → x , y = sen y e x sen y , x cos y e x sen y , F 2 → x , y = 0 , x , F 3 → = F 1 → + F 2 →
Decida, justificando, se cada um dos campos
F 1 → , F 2 → , F 3 →
é conservativo ou não.
Ver solução completa 31) Calcule
∫ C F → ⋅ d r →
, onde
F → = P , Q = cos x y 2 - x y 2 sin x y 2 , - 2 x 2 y sin x y 2
e
C
é dada por...
C : r → t = 1 + cos t , sin t , 0 ≤ t ≤ 2 π
.
C : r → t = t + t - 1 ln 1 + t 2 , - cos π 2 t , 0 ≤ t ≤ 1
.
Ver solução completa Seja
F → = P , Q = cos x 2 + x 2 y 3 - y 2 - x , x 3 y 2 + ln 2 - x
F →
é conservativo? Por quê?
Calcule
∫ C F → ∙ d r →
,
C : 1 2 + 1 2 cos t , 1 2 sen t , 0 ≤ t ≤ 2 π
Calcule
∫ C F → ∙ d r →
,
C : x - 1 2 + y 2 = 1 , x ≤ 1
, orientada no sentido anti-horário
Ver solução completa 32) Seja
C
qualquer curva unindo qualquer ponto na circunferência
x 2 + y 2 = a 2
a qualquer ponto na circunferência
x 2 + y 2 = b 2
,
b > a > 0
. Seja
F → x , y = 3 x 2 + y 2 1 2 x , y
. Mostre que
∫ C F → ⋅ d r →
tem sempre o valor
b 3 - a 3
.
Ver solução completa Verificar que a integral
∫ 1,1 3,3 e x ln y - e y x d x + e x y - e y ln x d y
Independe do caminho e calculo o seu valor.
Ver solução completa 42) Calcule
∫ C F → ⋅ d r →
Onde
F → x , y , z = e - y - z e - x , e - z - x e - y , e - x - y e - z
e
C
é a curva parametrizada por
r → t = ln 1 + t ln 2 , sin π t 2 , 1 - e t 1 - e , 0 ≤ t ≤ 1
Ver solução completa 41) Calcule
∫ C z e x z + y e x y + 6 x d x + x e x y + z e y z d y + x e x z + y e y z - sin z d z
Onde
C
é a curva dada por
r → t = t 2 i → + t - 1 t - 3 j → + π t 3 k → , 0 ≤ t ≤ 1
Ver solução completa 40) Calcule
∫ C F → ⋅ d r →
Onde
F → x , y , z = y z + x 3 , x z + 3 y 2 , x y + 4
e
C
é a curva obtida como interseção da superfície
z = 5 - y 2
,
z ≥ 1
, e
x + z = 5
, orientada no sentido de crescimento de
y
.
Ver solução completa Considere a hélice
r t = ( c o s t , s e n t , t )
com
t ∈ R 3
(1.1) Determine os pontos
P 1
e
P 2
em que a hélice acima encontra a esfera de equação
x 2 + y 2 + z 2 = 5
(1.2) Calcule o comprimento de arco
C
da hélice ligando
P 1
a
P 2
(1.3) Calcule a integral de linha do campo
F x , y , z = x 4 , y 10 , z
ao longo do arco ligando
P 1
a
P 2
.
Ver solução completa Calcule a integral de linha
∫ c 1 - y e - x d x + e - x d y ,
onde
c
é um caminho suave unindo os pontos
0,1
e
1,2
.
Ver solução completa Seja
F → = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2
1. seja
Z = x , y x > 1
, mostrar que
F
é conservativo em
Z .
2. seja
ϕ x , y = a r c t g ( y / x ) ,
mostrar que
ϕ ( x , y )
é um potencial de
F
em
Z
3. calcular a integral de
F
ao longo da curva
γ t = 2 , 2 t
para
t ∈ [ 0,1 ] ,
4. seja
W = R 2 { ( 0,0 ) } .
O campo
F
é conservativo em
W ?
Justificar a respota.
Ver solução completa Dados
a , b > 0
reais, seja
γ
o arco da elipse
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
no primeiro quadrante do plano
O x y
, percorrido de
a , 0
para
0 , b
. Considere o campo de vetores
F → : R 2 → R 2
dado por
F → x , y = 2 x y e x 2 , e x 2
. O valor da integral
∫ γ F → ⋅ d r →
é:
Escolha uma:
a)
0
b)
a b
c)
a + b
d)
b
e)
a
Ver solução completa Considere o campo
F = y z i ^ + x z j ^ + x y + 2 z k ^
a) Verifique que
F
é conservativo e calcule
f x , y , z