Enunciado

Diferencie a Eq. (i) em relação a r e mude as ordens das derivadas em relação a r e a t, mostrando, assim, que

Como a última expressão à direita na Eq. (ii) é zero quando r = r1, conclua que t exp(r1t) também é solução de L[y] = 0.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser pensar que, por ser linear e homogênea, teremos a solução no seguinte formato:

L e r t = a e r t ' ' + b e r t ' + c e r t

∂ ∂ r L e r t = ∂ ∂ r a ∂ 2 ∂ t 2 e r t + b ∂ ∂ t e r t + c e r t

∂ ∂ r L e r t = ∂ ∂ r a ( r - r 1 ) ² e r t

∂ ∂ r L e r t = 2 a r - r 1 e r t + a t r - r 1 ² e r t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

L t e r t = 0

L e r 1 t = 0

Resposta

L [ y ] = 0

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