Enunciado

Considere a equação ay′′ + by′ + cy = 0. Se as raízes da equação característica correspondente forem reais, mostre que uma solução da equação diferencial é identicamente nula ou pode assumir o valor zero no máximo uma vez.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar qual a Eq. (i).

a y ' ' + b y ' + c y = 0

As raízes da equação característica serão:

a r 2 + b r + c = 0

r 1 = r 2 =   - b / 2 a

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y = C 1 e r t   + C 2 t e r t

y ( t ) = C 1 e - b t / 2 a   + C 2 t e - b t / 2 a

Resposta

y ( t ) = C 1 e - b t / 2 a   + C 2 t e - b t / 2 a

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Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. y ' ' + 9 y = 0 ;y 1 sen ⁡ 3 x
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Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' + 2 x y ' - 6 y = 0 ;y 1
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 6 y ' ' + y ' - y = 0 ;y 1 = e x 3