Enunciado

Encontrando um centro de massa: Encontre o centro de massa de uma placa fina de densidade δ = 3 delimitada pelas retas x = 0 , y = x e a parábola y = 2 - x 2 no primeiro quadrante.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Pela definição do centro de massa, temos:

x   o u   y c m = ∑ i n x   o u   y i * m M

Analisando os gráficos das retas e da parábola:

Podemos perceber que 0 ≤ x ≤ 1 e x < y < 2 - x 2

Assim, ficamos com:

M = ∫ 0 1 ∫ x 2 - x 2 δ   d y d x

Passo 2

Primeiro, achemos a massa total, ou ∑ i n m = M

M = δ ∫ 0 1 ∫ x 2 - x 2 d y d x  

M = 3 ∫ 0 1 y x 2 - x 2 d x

M = 3 ∫ 0 1 2 - x 2 - x d x

M = 3 ∫ 0 1 2 d x - ∫ 0 1 x 2 d x - ∫ 0 1 x d x  

M = 3   2 x 0 1 - x 3 3 0 1 - x 2 2 0 1

M = 3 7 6 = 7 2

Passo 3

Assim, para o centro de massa em x:

M x = ∫ 0 1 ∫ x 2 - x 2 3 y   d y   d x =

= 3 ∫ 0 1 y 2 2 x 2 - x 2 d x

3 ∫ 0 1 x 4 - 5 x 2 + 4 2 d x =

3 2 ∫ 0 1 x 4 d x - ∫ 0 1 5 x 2 d x + ∫ 0 1 4 d x =

3 2 x 5 5 0 1 - 5 x 3 3 0 1 + 4 x 0 1

M x = 3 2 38 15 = 19 5

E para M y :

M y = ∫ 0 1 ∫ x 2 - x 2 3 x   d y   d x =

= ∫ 0 1 ∫ x 2 - x 2 3 x   d y   d x

= ∫ 0 1 y x 2 - x 2 3 x d x

= ∫ 0 1 2 - x 2 - x 3 x d x

3 ∫ 0 1 x - x 3 - x 2 d x

3 ∫ 0 1 x   d x - ∫ 0 1 x 3 d x -   ∫ 0 1 x 2 d x

3   x 2 2 0 1 - x 4 4 0 1 - x 3 3 0 1

M y = 3 5 12 = 5 4

Logo pela equação dada anteriormente:

x   o u   y c m = ∑ i n x   o u   y i * m M

Temos:

x c m = 5 4 7 2 = 5 14

E

y c m = = 19 5 7 2 = 38 35

Resposta

x c m = 5 4 7 2 = 5 14

E

y c m = = 19 5 7 2 = 38 35

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