Integrais Triplas

Resumo

Fala galera bonita. Sejam muito bem vindos ao Responde Aí. Nós somos a plataforma de exatas que vai salvar o seu semestre!

Nossa missão aqui hoje é dar uma introdução sobre as integrais triplas. Vamos lá?

Conhecimentos Prévios

Integrais

Integrais Duplas

Integrais Triplas

Quando a gente começa a estudar as integrais triplas, normalmente, a gente já passou pelas integrais simples e pelas integrais duplas. E a gente achava que não dava para piorar, né? hahaha. Brincadeirinha, não é tão complicado quanto parece.

Enquanto as integrais simples o intervalo de integração era $dx$ (um comprimento) e para as duplas era $dxdy$ (uma área), para as triplas teremos um volume infinitesimal $dxdydz=V$, que pode ser representado assim:

Definição visual do volume infinitesimal
Definição visual do volume infinitesimal

Sendo assim, se queremos fazer a integral de uma função $f(x,y,z)$ sob um volume, $W$, como esse que mostra a imagem acima, temos que fazer o seguinte:

Integral tripla
Integral tripla

Vamos supor que no nosso volume, $W$, $x$ pertence ao intervalo $[a,b]$, $y$ ao intervalo $[c,d]$ e $z$ ao intervalo $[e,f]$. Assim para resolver a integral tripla temos que fazer a integração em relação a cada uma das variáveis uma de cada vez, desse jeito aqui:

Ordem de cálculo da integral tripla
Ordem de cálculo da integral tripla

Topa fazer um exemplo rapidinho para entender melhor como funciona?

Exemplo

Calcule a seguinte integral:

Integral tripla do exemplo
Integral tripla do exemplo

Onde $B$ é o paralelepídedo dado por:

Volume de integração do exemplo
Volume de integração do exemplo

Vamos fazer a resolução passo a passo, beleza?

Passo 1

O primeiro passo é montar a integral tripla substituindo os intervalos de integração e estabelecendo a ordem de cálculo.

Vamos usar como ordem de cálculo $dxdzdy$, então temos que colocar o intevalo de $x$ na integral mais interna, o intervalo de $z$ na do meio e o intervalo de $y$ na mais externa, desse jeito aqui:

Ordem de cálculo da integral tripla
Ordem de cálculo da integral tripla

Passo 2

O póximo passo é realizar a integração em relação a $x$:

Integração em relação a
Integração em relação a

Passo 3

E o terceiro e último passo é integrar em relação a $z$ seguido da integração em relação a $y$:

Integração em relação a
Integração em relação a

E temos o resultado!

Tranquilo não é?

Isso é apenas uma introdução sobre as integrais triplas. E se você quiser pode ver essa introdução assistindo o vídeo aqui embaixo 👇🏽. Porque no Responde Aí tem conteúdo em texto e em vídeo também, você escolhe o que você preferir 😉

Mas, note que nessa introdução que vimos hoje o intervalo de integração eram números mesmo, mas e se a gente quiser calcular a integral limitando o $x$, $y$ e $z$ a uma função, ou seja, o intervalo de integração vai ser uma função e não um número? 😱

Quer descobrir como calcular a integral tripla nesse caso e muito mais coisas? Então confere o nosso Raio-X aqui embaixo 👇🏽, onde nós organizamos todo o conteúdo que você precisa saber sobre as integrais triplas em capítulos e tópicos para o seu estudo ser focado, rápido e lógico.

Está esperando o que para decidir de vez estudar com Responde Aí?

Raio-X

Livros Resolvidos

  • Cálculo Volume 2 - James Stewart
  • Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - Louis Leithold
  • Cálculo -  Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)
  • Um curso de Cálculo Volume 1 - Hamilton Luiz Guidorizzi
  • Um curso de Cálculo Volume 2 - Hamilton Luiz Guidorizzi
  • Cálculo Volume 1 - James Stewart