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Nossa missão aqui hoje é dar uma introdução sobre as integrais triplas. Vamos lá?
Conhecimentos Prévios
Integrais Triplas
Quando a gente começa a estudar as integrais triplas, normalmente, a gente já passou pelas integrais simples e pelas integrais duplas. E a gente achava que não dava para piorar, né? hahaha. Brincadeirinha, não é tão complicado quanto parece.
Enquanto as integrais simples o intervalo de integração era $dx$ (um comprimento) e para as duplas era $dxdy$ (uma área), para as triplas teremos um volume infinitesimal $dxdydz=V$, que pode ser representado assim:
Sendo assim, se queremos fazer a integral de uma função $f(x,y,z)$ sob um volume, $W$, como esse que mostra a imagem acima, temos que fazer o seguinte:
Vamos supor que no nosso volume, $W$, $x$ pertence ao intervalo $[a,b]$, $y$ ao intervalo $[c,d]$ e $z$ ao intervalo $[e,f]$. Assim para resolver a integral tripla temos que fazer a integração em relação a cada uma das variáveis uma de cada vez, desse jeito aqui:
Topa fazer um exemplo rapidinho para entender melhor como funciona?
Exemplo
Calcule a seguinte integral:
Onde $B$ é o paralelepídedo dado por:
Vamos fazer a resolução passo a passo, beleza?
Passo 1
O primeiro passo é montar a integral tripla substituindo os intervalos de integração e estabelecendo a ordem de cálculo.
Vamos usar como ordem de cálculo $dxdzdy$, então temos que colocar o intevalo de $x$ na integral mais interna, o intervalo de $z$ na do meio e o intervalo de $y$ na mais externa, desse jeito aqui:
Passo 2
O póximo passo é realizar a integração em relação a $x$:
Passo 3
E o terceiro e último passo é integrar em relação a $z$ seguido da integração em relação a $y$:
E temos o resultado!
Tranquilo não é?
Isso é apenas uma introdução sobre as integrais triplas. E se você quiser pode ver essa introdução assistindo o vídeo aqui embaixo 👇🏽. Porque no Responde Aí tem conteúdo em texto e em vídeo também, você escolhe o que você preferir 😉
Mas, note que nessa introdução que vimos hoje o intervalo de integração eram números mesmo, mas e se a gente quiser calcular a integral limitando o $x$, $y$ e $z$ a uma função, ou seja, o intervalo de integração vai ser uma função e não um número? 😱
Quer descobrir como calcular a integral tripla nesse caso e muito mais coisas? Então confere o nosso Raio-X aqui embaixo 👇🏽, onde nós organizamos todo o conteúdo que você precisa saber sobre as integrais triplas em capítulos e tópicos para o seu estudo ser focado, rápido e lógico.
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Podemos separar Integrais Triplas em 3 partes:
COMO APRENDER TUDO ISSO EM POUCO TEMPO?
O maior erro que você pode cometer é tentar estudar de forma desorganizada, seja procurando vídeos no YouTube, pulando pro caderno, livro do professor ou a famosa xerox. Você acaba perdendo muito tempo e não sente que está realmente avançando.
O segredo é ter um guia, que te diga não só que tópicos estudar e em que ordem, como também te indique bons resumos (em texto ou vídeo) e exercícios selecionados em ordem de dificuldade, com resolução passo a passo.
Comece abaixo com a primeira parte:
1.Introdução às Integrais Triplas
1. Introdução às Integrais Triplas
Para aprender Integrais Triplas você deve estudar os seguintes tópicos, nessa ordem:
- Integrais Triplas em Regiões Cúbicas
- Integrais Triplas em Regiões Gerais
Proxima parte de
Integrais Triplas
2.Introdução às Integrais Triplas
2. Métodos de Resolução de Integrais Triplas
Para aprender Integrais Triplas você deve estudar os seguintes tópicos, nessa ordem:
- Mudança da Ordem de Integração
- Mudança Qualquer de Variáveis
- Mudança para Coordenadas Cilíndricas
- Mudança para Coordenadas Esféricas
- Alterações na Mudança de Variável
Proxima parte de
Integrais Triplas
3.Métodos de Resolução de Integrais Triplas
3. Aplicação de Integrais Triplas
Para aprender Integrais Triplas você deve estudar os seguintes tópicos, nessa ordem:
- Valores Médios em Sólidos
- Centro de Massa e Centroide de Sólidos
- Momento de Inércia e Raio de Rotação de Sólidos