Enunciado

Encontre f ' ( a ) .

f x = 4 1 - x

Passo 1

E aí, galerinha, tudo joia?

Topa destruir essa questão comigo? Vamos lá!

A ideia aqui será determinar qual a derivada da função f x dada no enunciado:

f x = 4 1 - x

Para encontrarmos f ' ( a ) faremos:

f ' a =   lim x → a ⁡ f x - f ( a ) x - a

Aí é só substituir e resolver...

Passo 2

Então beleza! Temos:

f x = 4 1 - x

E

f a = 4 1 - a

Substituindo na equação (1), teremos:

f ' a =   lim x → a ⁡ 4 1 - x - 4 1 - a x - a

Organizando as divisões:

f ' a = l i m x → a 4 ( 1 - a ) - 4 1 - x ( 1 - x ) ( 1 - a )   ∙ 1 x - a  

Opa, aqui nós usaremos uma estratégia de multiplicar pelo conjugado para racionalizar a expressão com raízes no denominador, pega só como fica:

f ' a = l i m x → a   4 ( 1 - a ) - 4 1 - x ( 1 - x ) ( 1 - a )   ( x - a ) ∙ 4 1 - a + 4 1 - x 4 1 - a + 4 1 - x x → a

Passo 3

Multiplicando os termos entre parênteses:

f ' a =   l i m x → a 16 1 - a - 16 ( 1 - x ) ( 1 - x ) ( 1 - a )   ( x - a ) ( 4 1 - a + 4 1 - x )

Unindo termos de a   e de x , temos:

f ' a =   l i m x → a - 16   a + 16 x ( 1 - x ) ( 1 - a )   ( x - a ) ( 4 1 - a + 4 1 - x )

Isolando ( x - a ) :

f ' a = l i m x → a 16 ( x - a ) ( 1 - x ) ( 1 - a )   ( x - a ) ( 4 1 - a + 4 1 - x )  

E por fim, cortando ( x - a ) do numerador e do denominador:

f ' a = l i m x → a 16 ( 1 - x ) ( 1 - a )   ( 4 1 - a + 4 1 - x )  

Substituímos...

f ' a =   16 ( 1 - a ) ( 8 1 - a )

f ' a = 2 1 - a 3 2  

E... encontramos😉

Resposta

f ' a = 2 1 - a 3 2

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