29. Se f(x) = x / ln(x) , encontre f'(e) .

Passo 1

O exercício pede a derivada em um ponto, então precisamos achar a expressão da derivada e depois substituir o x por e . Para isso vamos precisar usar a regra do quociente:

f ' x = d d x x ⋅ ln ⁡ x - d d x ln ⁡ x ⋅ x ln ⁡ x 2

A derivada de x é 1 e a derivada de ln ⁡ x , como foi visto nesse capitulo é igual a:

d d x ln ⁡ x = 1 x

Então nossa derivada fica:

f ' x = 1 ⋅ ln ⁡ x - 1 x ⋅ x ln ⁡ x 2

f ' x = ln ⁡ x - 1 ln ⁡ x 2

Passo 2

Agora precisamos aplicar essa derivada no ponto:

f ' e = ln ⁡ e - 1 ln ⁡ e 2

Como

ln ⁡ e = 1

então:

f ' e = 1 - 1 1 2

f ' e = 0

Resposta

f ' e = 0

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