Encontre dy / dx :

y = ln(cos(x))

Passo 1

Nesse caso, temos uma função dentro da outra e para resolver esse tipo de função devemos usar a Regra da Cadeira.

Podemos separar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

f g x '

y = ln ⁡ cos ⁡ x

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f x = l n ⁡ ( g x )

u = g x = c o s ⁡ ( x )

Aplicando na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f u = l n ⁡ ( u )

u = c o s ⁡ ( x )

Derivando primeiro a função f em relação a u :

d y d u = 1 u

E derivando u em relação a x :

d u d x = - s e n ( x )

Agora, é só aplicar os valores obtidos na Regra da Cadeia. Bora lá?

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde:

Agora, só aplicarmos os termos calculados na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

d y d x = 1 u . ( - s e n x )

Substituindo u em d y d u :

d y d x = - s e n ( x ) c o s ⁡ ( x )

Substituindo pela identidade trigonométrica que diz que t g x = s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) :

d y d x = - t g ( x )

Resposta

d y d x = - t g ( x )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados