Enunciado

Suponha que o número p de paramécios numa solução de nutrientes t dias depois do início do experimento seja definido implicitamente como uma função t pela equação:

0 = ln ⁡ p + 0,83 - ln ⁡ 2,3 - 0,0046 p - 2,3 t

Use derivação implícita para mostrar que a taxa de variação de p em relação a t satisfaz a equação :

d p d t = 0,0046 p ( 500 - p )

Passo 1

O objetivo do exercício é transformar a primeira equação na segunda equação, utilizando diferenciação logarítmica:

0 = ln ⁡ p + 0,83 - ln ⁡ 2,3 - 0,0046 p - 2,3 t

A primeira coisa que faremos é diferenciar a equação em relação a t :

0 = 1 p . d p d t - 1 2,3 - 0,0046 p . - 0,0046 . d p d t - 2,3

Adicionamos 2,3 aos dois lados da equação :

2,3 = 1 p - 1 2,3 - 0,0046 p . - 0,0046 . d p d t

Reorganizando as frações :

2,3 = 2,3 - 0,0046 p + 0,0046 p p ( 2,3 - 0,0046 p ) . d p d t

Simplificando :

2,3 = 2,3 p ( 2,3 - 0,0046 p ) . d p d t

Multiplicar os dois lados da equação por p ( 2,3 - 0,0046 p ) :

p ( 2,3 - 0,0046 p ) 2,3 = 2,3 . d p d t

Dividir os dois lados por 2,3 :

p ( 2,3 - 0,0046 p ) = d p d t

Agora, isolamos 0,0046 :

0,0046 p ( 500 - p ) = d p d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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