Encontre dy / dx :

y = x^2 (arc sen(x))^3

Passo 1

Para solucionar esse problema, devemos usar duas abordagens : A regra do produto e a regra da cadeia.

Observe a nossa função:

y = x 2 ( a r c   s e n   x ) 3

Que também pode ser lida como:

y = x 2 ( s e n - 1   x ) 3

Podemos chamar :

f = x 2

f ' = 2 x

g = (   s e n - 1   x ) 3

Para resolver a derivada da função que nomeamos de g , precisaremos usar a regra da cadeia, onde:

f u = u 3

d f ( u ) d u = 3 u 2

u = (   s e n - 1 x ) 3

Para derivar uma função trigonométrica desse tipo, usaremos a fórmula que diz que, e aplicar na regra da cadeia :

d d x se n - 1 ⁡ ( x ) = 1 1 - x 2 . d [ x ] d x = 1 1 - x 2

d u d x = 1 1 - x 2

A regra da cadeia diz que:

d y d x = d y d u . d u d x

Substituindo os termos:

d y d x = 3 u 2 . 1 1 - x 2

Substituindo o valor de u :

g ' = d y d x = 3 ( s e n - 1 x ) 2 . 1 1 - x 2

Passo 2

Agora, podemos aplicar na regra do produto, se:

f = x 2

f ' = 2 x

g = (   s e n - 1   x ) 3

g ' = d y d x = 3 (   s e n - 1 x ) 2 . 1 1 - x 2

A regra do produto diz que:

y ' = f ' g + g ' f

y ' = 2 x . (   s e n - 1   x ) 3 + x 2 3 (   s e n - 1 x ) 2 . 1 1 - x 2

Resposta

y ' = 2 x . (   s e n - 1   x ) 3 + x 2 3 (   s e n - 1 x ) 2 . 1 1 - x 2

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