Enunciado

Encontre a área de um lado da “parede” de pé ortogonalmente

sobre a curva 2x + 3y = 6, 0 ≤ x ≤ 6, e abaixo da curva na superfície ƒ(x, y) = 4 + 3x + 2y.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a área de um sólido sobre a curva 2 x + 3 y = 6 , com 0 ≤ x ≤ 6 , e abaixo da curva da superficie dada por f ( x , y ) = 4 + 3 x + 2 y , devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 366, a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C fornece a área da porção da superfície abaixo de z = f ( x , y ) ≥ 0 . Essa integral é calculada por ∫ C   f ( x , y ) d r → d t d t

Passo 2

Devemos começar encontrando o vetor posição r → que é dado por r → = x i → + y j → . Do enunciado, sabemos que y = 6 - 2 x 3 , com 0 ≤ x ≤ 6 Dessa forma, se x = t teremos que y = 6 - 2 t 3 Temos, então, que o vetor posição é: r → ( t ) = t i → + 6 - 2 t 3 j → , com 0 ≤ t ≤ 6 .Assim, podemos calcular a sua derivada, como segue: d r → d t = i → - 2 / 3 j → e d r → d t = 1 2 + ( - 2 / 3 ) 2 = 1 + 4 / 9 = 13 / 9 = 13 3 .

A função é: f t , 6 - 2 t 3 = 4 + 3 t + 2 6 - 2 t 3 = 4 + 3 t + 4 - 4 t 3 = 8 + 5 t 3 .

Passo 3

Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ C   f ( x , y ) d r → d t d t . Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r → d t calculados anteriormente, teremos finalmente o resultado da questão:

A = ∫ 0 6   ( 8 + 5 t / 3 ) 13 3 d t = 13 3 ∫ 0 6   ( 8 + 5 t / 3 ) d t = 13 3 8 t + 5 6 t 2 0 6 = 26 13

Resposta

Resposta nos passos.

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