f(x, y) = x^2 - y, C: x^2 + y^2 = 4 no primeiro quadrante entre (0,2) e (raiz(2), raiz(2))

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de f ( x , y ) = x 2 - y ao longo da curva C , dada por x 2 + y 2 = 4 no primeiro quadrante entre os pontos ( 0,2 ) e ( 2 , 2 ) , devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363 , a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C é calculada por ∫ C   f ( x , y ) d r ‾ d t d t , onde f ( x , y ) é uma função contínua em C e d r ‾ d t a velocidade instantânea sobre o caminho.

Passo 2

Para começar, você deve encontrar o vetor posição r → que é dado por r → = x i → + y j → .Em coordenadas polares, podemos escrever x = 2 s e n t e y = 2 c o s ⁡ t .Temos, então, que o vetor posição é: r → ( t ) = ( 2 s e n ⁡ t ) i → + ( 2 c o s ⁡ t ) j → , c o m ⁡ 0 ≤ t ≤ π / 4 .Assim, temos que d r → d t = ( 2 c o s ⁡ t ) i → - ( 2 s e n ⁡ t ) j → e d r → d t = ( 2 c o s ⁡ t ) 2 + ( - 2 s e n ⁡ t ) 2 = 2 A função f ( 2 s e n ⁡ t , 2 c o s ⁡ t ) = ( 2 s e n ⁡ t ) 2 - 2 c o s ⁡ t .

Passo 3

Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ C   f ( x , y ) d r → d t d t . Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r ‾ d t calculados anteriormente, teremos então o resultado da questão:

∫ 0 π / 4   4 s e n 2 ⁡ t - 2 c o s ⁡ t 2 d t = ∫ 0 π / 4   8 s e n 2 ⁡ t d t - ∫ 0 π / 4   4 c o s ⁡ t d t = [ 4 t - 2 s e n ⁡ 2 t - 4 s e n ⁡ t ] 0 π / 4 = π - 2 ( 1 + 2 )

Passo 4

Obs.: Devemos lembrar que, pela identidade trigonométrica, que pode ser encontrado no livro após a página 540 , s e n 2 ⁡ t = 1 - c o s ⁡ 2 t 2 . Dessa forma a integral de ∫ s e n 2 ⁡ t d t = ∫ 1 - c o s ⁡ 2 t 2

Resposta

∫ 0 π / 4   4 s e n 2 ⁡ t - 2 c o s ⁡ t 2 d t = π - 2 ( 1 + 2 )

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