Enunciado

Encontre a área da superfície.

A parte do plano 5 x + 3 y - z + 6 = 0 que cruza acima do retângulo 1,4 × 2,6 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A área da superfície com a equação z = f x , y é:

A S = ∬ D f x x , y 2 + f y x , y 2 + 1 d A

Passo 2

Temos então que encontrar as derivadas parciais f x e f y . Temos que z = 5 x + 3 y + 6 , portanto:

f x = 5

f y = 3

Passo 3

A região D é delimitada por:

D = x , y | 1 ≤ x ≤ 4 ,   2 ≤ y ≤ 6

A área será:

A = ∬ D 5 2 + 3 2 + 1 d A

A = ∬ D 25 + 9 + 1 d A

A = ∬ D 35 d A

Aplicando os limites, temos:

A = ∫ 1 4 ∫ 2 6 35 d y d x

Resolvendo, temos que:

A = ∫ 1 4 ∫ 2 6 35 d y d x = ∫ 1 4 35 y 2 6 d x

A = ∫ 1 4 35 6 - 2 d x

A = ∫ 1 4 4 35 d x

A = 4 35 x 1 4

A = 4 35 4 - 1

A = 12 35

Resposta

A = 12 35

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