Enunciado

56. Encontre as constantes A. B e C tal que a função y = A x 2 + B x + C satisfaça a equação diferencial y ' ' + y ' - 2 y = x 2 .

Passo 1

Nessa questão a gente precisa achar os valores de A, B e C para que a igualdade seja verdadeira, então vamos descobrir quanto vale y ' ' e y ' para substituir na equação:

y ' = d d x A x 2 + B x + C  

Derivada de polinômio é só baixar o grau dele e passar o expoente multiplicando:

y ' = 2 A x + B

Beleza, agora vamos derivar mais uma vez para descobrirmos o valor de y ' ' :

y ' ' = d d x 2 A x + B

y ' ' = 2 A

Passo 2

Pronto, agora temos tudo o que precisamos para substituir na equação do enunciado:

y ' ' + y ' - 2 y = x 2

2 A + 2 A x + B - 2 A x 2 + B x + C   = x 2

Escrevendo a equação de segundo grau com seus devidos coeficientes:

- 2 A x 2 + 2 A - 2 B x + 2 A + B - 2 C = x 2

Então para essa igualdade ser verdadeira:

- 2 A = 1

então

A = - 1 2

Também precisa ser satisfeita, essa equação:

2 A - 2 B = 0

2 A = 2 B

A = B

Portanto

B = - 1 2

Como sabemos que A = B = - 1 / 2 e precisamos satisfazer essa equação:

2 A + B - 2 C = 0

Podemos escrever:

2 - 1 2 + - 1 2 - 2 C = 0

2 C = - 1 - 1 2

2 C = - 3 2

C = - 3 4

Resposta

A = B = - 1 2

e

C = - 3 4

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