Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Estabeleça os domínios da função e da derivada.

f x = 37

Passo 1

Faaaaala aí, minhas queridas e meus queridos. Vamos dar uma olhadinha nessa questão?

O enunciado pede pra trabalharmos com essa função aqui:

f x = 37

Ele pede três coisinhas pra gente.

A derivada da função;

O domínio da função;

O domínio da derivada.

Pra calcularmos a derivada, vamos usar essa definição aqui:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Não surta ainda! Vamos ver direitinho como usar esse camarada aí.

Depois disso, precisamos estabelecer os domínios da função e da derivada. Mas o que é domínio mesmo?

O domínio de uma função é o conjunto de todos os pontos que x pode assumir sem dar nenhum problema na função.

Por exemplo, se estivéssemos estudando a função g x = 1 / x   , avariável x não poderia ser igual a 0 , certo? É esse tipo de coisa que precisamos checar.

Vamos ver juntos cada um desses pontos!

Passo 2

Vamos começar calculando a nossa derivada.Relembrando, a definição que vamos usar é essa aqui:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Sabemos que a nossa função é:

f x = 37

E podemos ver que:

f x + h = 37

Vamos aplicar no nosso limite:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ 37 - 37 h →

→ f ´ x = 0

Olha só! Descobrimos que a derivada f ' x da nossa função é igual a 0 .

Passo 3

Agora vamos dar uma olhada no domínio das nossas funções. Começando com f x :

f x = 37

Geralmente, os princiais elementos que podem causar algum tipo de restrição no nosso domínio são esses aqui:

Frações : Denominador não pode ser igual a 0 ;

Raiz com índice par: Radicando não pode ser negativo;

Logaritmo: O logaritmando tem que ser estritamente positivo.

Ora... Nenhum desses elementos aparece na nossa função! Então x pode assumir qualquer valor real que a nossa função não vai “quebrar”. Ou seja:

D f = R

O mesmo vai valer pra nossa derivada f ' x :

f ' x = 0

Não existe qualquer restrição pra x . Então também podemos dizer que o domínio da nossa derivada é o conjunto dos números reais:

D f ' = R

Boa! Conseguimos fechar a questãozinha!

Resposta

f ' x = 0

D f = R

D f ' = R

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