Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = e^(- 5 x) cos 3 x

Passo 1

E aí! Como vai?

Nesse problema temos que calcular a derivada da função

y = e^(- 5 x) cos 3 x

Tem ideia de como fazemos isso?

Aqui vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = e^(- 5 x)

e

g (x) = cos 3 x

Veja só!

Passo 2

Usamos a regra da função exponencial, a do polinômio e da cadeia pra calcular f ' ( x ) :

(x^n)^' = n x^(n - 1) e (e^(f (x)))^' = e^(f (x)) . f ' ( x )

Assim:

f^' (x) = (e^(- 5 x))^' = e^(- 5 x) . (- 5 x)^'

f^' (x) = e^(- 5 x) . (- 5 x^(1 - 1))

f^' (x) = e^(- 5 x) . (- 5 x^0)

Simplificando...

f^' (x) = e^(- 5 x) . (- 5.1)

f^' (x) = - 5 e^(- 5 x)

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Com g ' ( x ) usamos a regra da função trigonométrica do cosseno e a do polinômio:

(cos (x))^' = - sen (x)

Assim:

g^' (x) = (cos (3 x))^'

g^' (x) = - sen (3 x) . (3 x)^'

g^' (x) = - sen (3 x) . (3 x^(1 - 1))

g^' (x) = - sen (3 x) . (3 x^0)

Simplificando...

g^' (x) = - sen (3 x) . (3.1)

g^' (x) = - 3 sen (3 x)

Show?

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = (f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

y^' = - 5 e^(- 5 x) . cos (3 x) + (- 3 sen (3 x) . e^(- 5 x))

y^' = - e^(- 5 x) (+ 5 cos (3 x) + 3 sen (3 x))

E aí! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y ' = - e^(- 5 x) (+ 5 cos (3 x) + 3 sen (3 x))

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