Lista de Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Derive as funções abaixo:

b   f x = 3 2 x 7 - cos ⁡ 4 x

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Derive:

y = x sinh ⁡ x

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Derive a seguinte função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = c o s ² x

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Suponha que F x = f ( g x ) e g 3 = 6 , g’(3)=4 , f ' 3 = 2 e f ' 6 = 7 . Enconte F ' ( 3 )

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Derive a função:

y = sen 3 ⁡ ( ln ⁡ ( x 2 ) )

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Determine d y d x usando a regra da cadeia, sendo y uma função composta de

a   y = u 3                     e                     u = x

b   y = u                     e                     u = x 3

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Seja g uma função diferenciável tal que g 0 = 1 e g ' 0 = 0 . Considere a função

h x = sen ⁡ x g tg ⁡ x + 1 x - 1 3

Calcule h ' - 1 .

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Encontre f ' ' em termos de g , g ' e g ' ' . Onde

f x = x g x 2

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Seja f a função definida por

f x = x 3 - 8 3 ,                                                                                                 s e   x ≥ 0 x 3 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x ,                                       s e   x < 0

( a ) Determine os pontos em que f é derivável. Justifique.

( b ) Calcule f ' ( x ) nos pontos em que f é derivável.

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Seja

f x = sen ⁡ x x - 3 3 x ,           s e   x ≠ 0 1 ,                                             s e   x = 0  

b ) Calcule a derivada de f nos pontos em que f é derivável.

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Seja

f x = arctg ⁡ 1 x cos ⁡ 3 x 2 - 1 x 2 ,     s e   x ≠ 0 0 ,                                                                                                             s e   x = 0

b ) Calcule f ' ( x ) para x ≠ 0 .

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a Seja f x = cos ⁡ x 2 3 . Calcule f ' x nos pontos x   ∈   R nos quais ela existe.

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Calcule:

  1. f ' x ,   Onde f x = tan ⁡ ( x 2 ) + l n ⁡ ( cos ⁡ ( x ) )

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Derive as funções abaixo:

a   f x = a r c s e n 4 x 2 + 3 x  

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Derive as funções abaixo:

c   f x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tg ⁡ x |

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Derive as funções abaixo:

b   f x = 3 2 x 7 - cos ⁡ 4 x

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Derive as funções abaixo:

b   f x = tg ⁡ x 2 4

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Derive as funções abaixo:

c   f x = sec ⁡ x 3 + cos ⁡ x 8

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Derive as funções abaixo:

d   f x = log 7 ⁡ 2 - π e x

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Derive a função.

f x = 1 x 2 + 2 2

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Calcule a derivada de:

f x = 1 + ln ⁡ x + 1 ,     x > 0

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Calcule:

f ' x , onde f x = e sen ⁡ x 3 + x + 1

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Calcule:

c   f ' x ,     s e   f x = cos ⁡ ln ⁡ x + arctg ⁡ x + 2 x + π + 2

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Calcule ou argumente que os valores não existem. Em todos os casos justifique seus cálculos e respostas.

c Derivada de f x = x ln ⁡ 1 + x 2 .

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Seja f x = x 2 e x - 1

( a ) Mostre que f ' x = x 2 + 2 x e x - 1

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( a ) Calcule

d x + 1 x 3 2 d x

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Calcule f ' ( x ) onde:

c   f x = 7 e tg ⁡ x + x 2 + 1 100

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Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que o gráfico de

f x = e - x + 3 x 2

Fica horizontal em algum ponto do intervalo ( 0,1 ) . Ponto horizontal do gráfico significa que a reta tangente é horizontal naquele ponto.

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Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras de derivação:

( a ) g z = z 3 + 2 z + 1 4 z 3 + 2 z - 1 3

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Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras de derivação:

( c ) Calcule f ' ( 0 ) para f x = e x cos ⁡ ( 5 x )

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( a ) Calcule a derivada de f x = e 5 x x - cos ⁡ x 3 .

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( a ) Calcule f ' x se f x = e 2 x + 1 + 5 x - 1 cos ⁡ ( x )

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Um ponto move-se ao longo de uma elipse x 2 + 4 y 2 = 1 . A abscissa x está variando a uma velocidade d x d t = sen ⁡ 4 t . Mostre que

a) d y d t = - x sen ⁡ 4 t 4 y

b) d 2 y d t 2 = - x ² sen ² ⁡ 4 t + 16 x y 2 cos ⁡ 4 t 16 y ³

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Derive as funções dos exercícios 6 a 16 (se for conveniente, use derivação logarítmica)

14)

f x = x π + π x

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Derive as funções dos exercícios 6 a 16 (se for conveniente, use derivação logarítmica)

16)

ln ⁡ x + 1 x - 1 3

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Derive as funções dos exercícios 6 a 16 (se for conveniente, use derivação logarítmica)

12)

f x = log 2 ⁡ x 2  

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9)

f x = e x x

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8)

f x = ln ⁡ x x 2 + 1

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7)

f x = e x ln ⁡ x

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6)

f x = e sin ⁡ 2 x x e cos ⁡ 3 x

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Calcule a derivada f ' x se

f x = ln ⁡ 2 + cos ⁡ x 2

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Derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).

f x = s e n 2 x . x 3 + 2 x 2 3

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Derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).

F u = u ³ - 3 u ² u 4 + 1 5 / 2

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Seja g   :   R → R diferenciável; e g 0 = 1 2   e   g ' 0 = 1 . Calcule f ' 0 , onde

f x = c o s x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2  

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Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = x 2 - 2 x + 2 2   x 4 + x ² + 1

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Derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).

f x = 2 x 4 + 2 x 4 cos 2 ⁡ x

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Calcule f ' ' , f ' ' ' e seus respectivos domínios para

f x = x 2 cos ⁡ 1 x x ≠ 0 0 x = 0  

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Considere g x = cos ⁡ x × f ² x ,   onde f :   R → R é duas vezes diferenciável, f 0 = - 1 e f ' 0 = f ' ' 0 = 2 . Calcule g ' ' 0 .

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Considere duas funções f e g . Sabemos que f 1 = 2 , f 2 = 1 , f ' 1 = 3 , f ' 2 = 6 , g 2 = 1 , g ' 1 = 5 e g ' 2 = 4 .

Se h ( x ) = f ( g ( x ) ) , então o valor de h ' ( 2 ) é:

  1. 12
  2. 24
  3. 30
  4. 15

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a) Derive. Simplifique sua resposta quando possível:

arctan ⁡ x 2 - 1

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b) Derive. Simplifique sua resposta quando possível:

x sin ⁡ x

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Calcule G ' ' para a função a seguir.

G r = 2 r ² - 2 r - 1 5

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Determine a derivada da função f x = 5 x . ln ⁡ cos ⁡ x

(a) f ' x =   - 5 x . sen ⁡ x cos ⁡ x

(b) f ' x = 5 - 5 x . sen ⁡ x cos ⁡ x

(c) f ' x = 5 x . sen ⁡ x cos ⁡ x

(d) f ' x = 5 ln ⁡ cos ⁡ x - 5 x . sen ⁡ x cos ⁡ x

(e) f ' x = 5 l n ⁡ ( cos ⁡ x )

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Determine a derivada da função f x = e 3 x + 1

(a) f ' x = - 3 e 3 x + 1

(b) f ' x = 3 e 3 x + 1

(c) f ' x = 3 e 2 x + 1

(d) f ' x = 5 e 3 x + 1

(e) Nenhuma das respostas anteriores

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Seja:

f x = ln ⁡ - 3 x - x 2

  1. Determine o domínio de f .
  2. Calcule a derivada de f .

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Calcule as derivadas das seguintes funções:

  1. f x = cos ⁡ x + 1 x 2 sen ⁡ x - 1
  2. g x = ln ⁡ ln ⁡ x + x 2 + 3
  3. h x = 2 ln ⁡ x + sen ⁡ x tg ⁡ x + x 2 + 2

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Calcule as derivadas das seguintes funções:

  1. f x = 2 sen ⁡ x + ln ⁡ x + x 2 + 1 3
  2. g x = e x + ln ⁡ x cos ⁡ x + tg ⁡ x
  3. h x = e - x - 2 tg ⁡ x x 4 + x 2 + 4

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Calcule as derivadas das seguintes funções:

  1. f x = e - x - 2 tg ⁡ x x 4 + x 2 + 4
  2. g x = ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x
  3. h x = 2 cos ⁡ x + x 4 + 2 4

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Calcule a derivada das seguintes funções:

b φ x = tg ⁡ e x ln ⁡ x

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Calcule a derivada da seguinte função: f x = ln ⁡ sec ⁡ 2 x

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Calcule a derivada da seguinte função:

f x = e x x sen ⁡ 6 x

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Calcule a derivada da seguinte função:

f x = x + x tg ⁡ x

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Derive a seguinte função:

g x = tg ⁡ x ⋅ sec ⁡ x

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Calcule a derivada da função dada:

y = e sen ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x

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Calcule a derivada da seguinte função:

h x = x 4 5 . sec ⁡ x 5

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Calcule a derivada da seguinte função:

f x = tg ⁡ 3 x - 1 x 2 + x - 4

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Calcule a derivada y ' da função y x :

y = e - x 2 ln ⁡ sec ⁡ x

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Calcule a derivada da função dada:

y = x 3 3 1 + x sec ⁡ x 3

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Calcule a derivada da função dada:

y = e sen ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x

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Calcule f ' x onde

f x = e x 3 + sen ⁡ x 2

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Sejam f , g : R → R funções diferenciáveis tais que:

f 1 = 2 f ' 1 = 3 g 2 = 2

g ' 2 = - 1 g 1 = 2 g ' 1 = 2

Então a derivada da função h x = f x ⋅ g ∘ f x no ponto x 0 = 1 é:

  1. 0 .
  2. 3 / 4 .
  3. 3 / 2 .
  4. 1 .
  5. 1 / 2 .

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Calcule a derivada da função: f x = x 2 cos ⁡ e cos ⁡ x

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Seja y = f x uma função duas vezes diferenciável. Considere: y = g x = e f x

Então g ' ' x = h x e f x , onde h x =

  1. f ' x 2 + f ' ' x .
  2. f ' ' x 2 + f ' x .
  3. f ' x + f ' ' x 2 .
  4. f ' x + f ' ' x .
  5. 2 f ' x + f ' ' x .

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Determine a derivada da função abaixo:

g x = e - 3 x + l n ( arcsen ⁡ x )