Enunciado

Encontre as funções a f ∘ g ,   b g ∘ f ,   c f ∘ f   e   d g ∘ g e seus domínios.

f x = sin ⁡ x ,                 g x = x 2 + 1

Passo 1

E aí, tudo bom?! Aqui temos as funções:

f x = sin ⁡ x

g x = x 2 + 1

Sabendo disso precisamos calcular:

a f g x ,

b g f x

  c f ( f x

d g g x

Além dos seus domínios!

Pra encontrar as funções compostas é muito simples. A gente pega a função de “fora” escreve e no lugar do x a gente coloca um parênteses a s s i m . Dentro do parêntese a gente escreve a função “de dentro”. Depois disso é só fazer as manipulações e está pronto!

Pra achar o domínio a gente tem que pensar se a função tem alguma restrição. Por exemplo, uma função raiz x o valor dentro da raiz tem que ser sempre positivo. Quando temos um quociente ele deve ser diferente de zero, tem outros casos também! Sabendo disso a gente precisa descobrir os valores de x que são permitidos na função!

Agora bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar com f g x . Temos:

f x = sin ⁡ x

g x = x 2 + 1

Então:

f g x = f x 2 + 1 = sin ⁡ x 2 + 1

O domínio desta função será todos os reais, pois não há nenhum valor de x para qual a função não esteja definida em IR.

D = I R

Passo 3

Agora g f x :

g x = x 2 + 1

f x = sin ⁡ x

Então:

g f x = g sin ⁡ x = sin ⁡ x 2 + 1

g f x = sin 2 ⁡ x + 1

Aqui a gente tem uma função trigonométrica. Não existe nenhum valor dentro dos números reais que x não pode assumir, então:

D = I R

Passo 4

Tá quase acabando, vamos fazer f f x . Soa estranho a mesma função dentro dela mesma, mas o procedimento é igual:

f x = sin ⁡ x

Então:

f g x = f sin ⁡ x = sin ⁡ sin ⁡ x

De novo uma função trigonométrica, então o domínio é:

D = I R

Passo 5

Finalmente o último, g g x :

g x = x 2 + 1

Então:

g g x =   g x 2 + 1 = x 2 + 1 2 + 1

g g x = x 4 + 2 x + 1 + 1

g g x = x 4 + 2 x + 2

Essa é uma função polinomial, como x pode assumir qualquer valor dentro dos reais, então:

D = I R

E acabooou!

Resposta

a )   f ∘ g = s e n ( x 2 + 1 )

D = I R

b )   g ∘ f = s e n 2 x + 1

D = I R

c )   f ∘ f = s e n ( s e n x )

D = I R

d )   g ∘ g = x 4 + 2 x 2 + 2

D = I R

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