Encontre o limite.

lim x → ∞ ⁡ 1 + a x b x

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

lim x → ∞ ⁡ e x p ⁡ ( l n 1 + a x b x )

Com isso podemos descer ali aquele expoente 1 x .

Ficamos então com:

lim x → ∞ ⁡ e b x ln ⁡ 1 + a x

O exponencial pode sair do limite ficando:

e lim x → ∞ ⁡ b x ln ⁡ 1 + a x

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponencial, podemos reorganizar isso como:

lim x → ∞ ⁡ b x ln ⁡ 1 + a x

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + a x 1 b x

Agora caímos na indeterminação 0/0 onmde podemos aplica l’Hopital.

lim x → ∞ ⁡ - a a x + x 2 - 1 b x 2

lim x → ∞ ⁡ a b x 2 a x + x 2

Passo 3

Aplicando agora a regra de L’Hopital mais uma vez temos:

lim x → ∞ ⁡ 2 a b x 2 x + a

E mais uma vez:

lim x → ∞ ⁡ 2 a b 2 = a b

Lembrando de reaplicar o exponencial temos:

Resposta

e a b

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