Enunciado

Encontre o limite.

underset(x -> oo)(lim) (1 + (a)/(x))^(b x)

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

underset(x -> oo)(lim) e x p ( l n (1 + (a)/(x))^(b x) )

Com isso podemos descer ali aquele expoente (1)/(x) .

Ficamos então com:

underset(x -> oo)(lim) e^(b x ln (1 + (a)/(x)))

O exponencial pode sair do limite ficando:

e^(underset(x -> oo)(lim) b x ln (1 + (a)/(x)))

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponencial, podemos reorganizar isso como:

underset(x -> oo)(lim) b x ln (1 + (a)/(x))

underset(x -> oo)(lim) (ln (1 + (a)/(x)))/((1)/(b x))

Agora caímos na indeterminação 0/0 onmde podemos aplica l’Hopital.

underset(x -> oo)(lim) (- (a)/(a x + x^2))/(- (1)/(b x^2))

underset(x -> oo)(lim) (a b x^2)/(a x + x^2)

Passo 3

Aplicando agora a regra de L’Hopital mais uma vez temos:

underset(x -> oo)(lim) (2 a b x)/(2 x + a)

E mais uma vez:

underset(x -> oo)(lim) (2 a b)/(2) = a b

Lembrando de reaplicar o exponencial temos:

Resposta

e^(a b)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se não utilizássemos a Regra de L’Hôpital para calcular lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ou lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x x poderíamos ser acusados de raciocínio circular. Explique por quê.
Suponha que as funções f e g sejam diferenciáveis em x = a e que f a = g a = 0 . Se g ' a ≠ 0 , mostre que lim x → a ⁡ f x g x = f ' a g ' a sem usar a regra de L’Hôpital. [Sugestão: Divida o numerado
Há um mito que circula entre os que começam estudar Cálculo de que todas as formas indeterminadas dos tipos 0 0 ,∞ 0e1 ∞ são iguais a 1 , pois “qualquer coisa elevada a zero é 1 ” e “ 1 a qualquer pot
Há um mito que circula entre os que começam estudar Cálculo de que todas as formas indeterminadas dos tipos 0 0 ,∞ 0e1 ∞ são iguais a 1 , pois “qualquer coisa elevada a zero é 1 ” e “ 1 a qualquer pot
Há um mito que circula entre os que começam estudar Cálculo de que todas as formas indeterminadas dos tipos 0 0 ,∞ 0e1 ∞ são iguais a 1 , pois “qualquer coisa elevada a zero é 1 ” e “ 1 a qualquer pot