Enunciado

Encontre o limite.

underset(x -> 0)(lim) (1 + 2 x)^(- (3)/(x))

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

underset(x -> 0)(lim) e x p ( l n (1 + 2 x)^(- (3)/(x)) )

Com isso podemos descer ali aquele expoente - (3)/(x) .

Ficamos então com:

underset(x -> 0)(lim) e^(- (3)/(x) ln (1 + 2 x))

O exponencial pode sair do limite ficando:

e^(underset(x -> 0)(lim) - (3)/(x) ln (1 + 2 x))

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponenciaol, caímos na indeterminação (0)/(0) onde podemos aplicar L’Hopital.

underset(x -> 0)(lim) - (3)/(x) ln (1 + 2 x)

underset(x -> 0)(lim) (((- 3 * 2)/(2 x + 1)))/(1)

underset(x -> 0)(lim) (- 3 * 2)/(2 x + 1)

Passo 3

Podemos reescrever esse limite como:

underset(x -> 0)(lim) (- 3 * 2)/(2 x + 1)

- 3 * (2)/(2 * 0 + 1) = - 6

Trazendo o exponencial la do começo da questão tínhamos:

e^(underset(x -> 0)(lim) - (3)/(x) ln (1 + 2 x))

e^(- 6)

(1)/(e^6)

Resposta

(1)/(e^6)

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