Enunciado

Encontre a massa de uma helicoide

r r , θ = t cos ⁡ θ i + ( r sin ⁡ θ ) j + θ k ,

0 ≤ r ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π , se a função densidade for δ x , y , z = 2 x 2 + y 2

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sabendo que r r , θ = t cos ⁡ θ i + ( r sin ⁡ θ ) j + θ k , e que suas variaveis vão ser 0 ≤ r ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,

Aplicando a rotacional

Com isso vamos ter que,

sin ⁡ θ i - cos ⁡ θ j + r k →   r r   x   r θ = 1 + r 2 ,

δ = 2 x 2 + y 2 = 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ = 2 r

m a s s a = ∫ ∫ S δ x , y , z d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 1 + r 2 d r d θ

∫ 0 2 π 2 3 1 + r 2 3 2 0 1 d θ = ∫ 0 2 π 2 3 2 2 - 1   d θ = 4 π 3 ( 2 2 - 1 )

Resposta

4 π 3 ( 2 2 - 1 )

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