Enunciado

Encontre todos os pontos (a, b, c) sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2

onde o campo vetorial F = y z 2 i + x z 2 j + 2 x y z k é normal a superficie

e F(a, b, c) ≠ 0.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sendo a função F = y z 2 i + x z 2 j + 2 x y z k e n = x i + y j + z k x 2 + y 2 + z 2 = x i + y j + z k R

Ele vai ser paralelo a n quando,

y z 2 = c x R ,       x z 2 = c y R ,       2 x y z = c z R

y z 2 x = x z 2 y = 2 x y → y 2 = x 2 → y = ± x

z 2 = ± c R = 2 x 2 → z = ± 2 x

Passo 2

Com isso, vamos ter que

x 2 + y 2 + z 2 = R 2 → x 2 + x 2 + 2 x 2 = R 2 → 4 x 2 = R 2 → x = ± R 2

E assim os pontos vão ser:

R 2 ,   R 2 , 2 R 2   ,   R 2 ,   R 2 , - 2 R 2  

- R 2 , -   R 2 , 2 R 2   ,   - R 2 , -   R 2 , - 2 R 2  

R 2 , -   R 2 , 2 R 2 ,   R 2 , -   R 2 , - 2 R 2    

- R 2 ,   R 2 , 2 R 2 ,   - R 2 ,   R 2 , - 2 R 2    

Resposta

R 2 ,   R 2 , 2 R 2   ,   R 2 ,   R 2 , - 2 R 2  

- R 2 , -   R 2 , 2 R 2   ,   - R 2 , -   R 2 , - 2 R 2  

R 2 , -   R 2 , 2 R 2 ,   R 2 , -   R 2 , - 2 R 2    

- R 2 ,   R 2 , 2 R 2 ,   - R 2 ,   R 2 , - 2 R 2    

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