Enunciado

Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)

24. Porção do hemisfério A porção do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 10 ,     y ≤ 0 , no primeiro octante.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para parametrizar a esfera usaremos coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

A equação da esfera é dada por:

x 2 + y 2 + z 2 = 10

Portanto, o raio da esfera é ρ = 10 e com isso,

x = 10 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = 10 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = 10 cos ⁡ ϕ

e como observamos a porção do hemisfério no primeiro octante, podemos inferir que

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Finalmente,

r θ , ϕ = 10 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 10 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ j + 10 cos ⁡ ϕ k

Resposta

r θ , ϕ = 10 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 10 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ j + 10 cos ⁡ ϕ k

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Integre F = - y sen ⁡ z i + x sen ⁡ z j + ( x y cos ⁡ z ) k ao redor da circunferência cortada da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5 pelo plano z = - 1 , no sentido horário quando visto de cima.